Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{\ln x}{x \ln x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}}\,dx.
O conteúdo necessário é simplificar o integrando usando propriedades de logaritmos e depois integrar função do tipo 1/x.

Passo 2

Use a propriedade
\ln x^{2}=2\ln x
para reescrever o integrando. Assim, para x>0:
\frac{\ln x}{x\,\ln x^{2}} =\frac{\ln x}{x\cdot2\ln x} =\frac{1}{2x}.

Passo 3

Agora integramos
\int \frac{1}{2x}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}\,dx =\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C

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