Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma antiderivada (primitiva), ou seja, uma função
tal que . - Ao final deve-se acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método: expandir o quadrado e integrar termo a termo.
Explicação didática: quando a integranda é um polinômio (soma de potências de com coeficientes), o jeito mais direto é usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e a regra da potência para integrar cada termo. Outra ideia seria tentar a substituição
, mas ao derivar obtemos
, que não é simplesmente um múltiplo de
sem envolver
; então essa substituição não simplifica diretamente. Por isso expandir é mais simples e rápido.
Explicação didática: quando a integranda é um polinômio (soma de potências de
Lembretes de fórmulas que vamos usar:
- Linearidade:
. - Constante pode sair da integral:
. - Regra da potência (para
): . Aqui é um número real que indica o expoente de .
Passo 3
Expandir o quadrado usando
. Tome
e
. Então:
Calcule cada termo:
Portanto a integranda fica
Passo 4
Aplicar linearidade da integral e fatorar constantes:
E usando que constantes saem da integral:
Passo 5
Integrar cada potência usando a regra da potência:
- Para
temos , então
Multiplicando por
:
- Para
temos , então
Multiplicando por
:
- Para
temos , então
Multiplicando por
:
Passo 6
Somando as primitivas parciais e lembrando de acrescentar a constante de integração
, obtemos a primitiva da função original.