Calcular as integrais:
\int\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}.
  • Quer-se uma antiderivada (primitiva), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}.
  • Ao final deve-se acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: expandir o quadrado e integrar termo a termo.
Explicação didática: quando a integranda é um polinômio (soma de potências de x com coeficientes), o jeito mais direto é usar a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais) e a regra da potência para integrar cada termo. Outra ideia seria tentar a substituição u=5x^{2}-3x, mas ao derivar obtemos \mathrm{d}u=(10x-3)\,\mathrm{d}x, que não é simplesmente um múltiplo de \mathrm{d}x sem envolver x; então essa substituição não simplifica diretamente. Por isso expandir é mais simples e rápido.
Lembretes de fórmulas que vamos usar:
  • Linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,\mathrm{d}x = \int f(x)\,\mathrm{d}x + \int g(x)\,\mathrm{d}x.
  • Constante pode sair da integral: \displaystyle \int c\,f(x)\,\mathrm{d}x = c\int f(x)\,\mathrm{d}x.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n é um número real que indica o expoente de x.

Passo 3

Expandir o quadrado usando (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Tome a=5x^{2} e b=3x. Então:
\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}=(5x^{2})^{2}-2\cdot(5x^{2})\cdot(3x)+(3x)^{2}.
Calcule cada termo:
(5x^{2})^{2}=25x^{4}, \qquad -2\cdot(5x^{2})\cdot(3x)=-30x^{3}, \qquad (3x)^{2}=9x^{2}.
Portanto a integranda fica
\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}=25x^{4}-30x^{3}+9x^{2}.

Passo 4

Aplicar linearidade da integral e fatorar constantes:
\int\left(5 x^{2}-3 x\right)^{2}\,\mathrm{d}x = \int\bigl(25x^{4}-30x^{3}+9x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x = \int 25x^{4}\,\mathrm{d}x - \int 30x^{3}\,\mathrm{d}x + \int 9x^{2}\,\mathrm{d}x.
E usando que constantes saem da integral:
=25\int x^{4}\,\mathrm{d}x - 30\int x^{3}\,\mathrm{d}x + 9\int x^{2}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Integrar cada potência usando a regra da potência:
  • Para \int x^{4}\,\mathrm{d}x temos n=4, então
\int x^{4}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{5}}{5}.
Multiplicando por 25:
25\int x^{4}\,\mathrm{d}x = 25\cdot\frac{x^{5}}{5}=5x^{5}.
  • Para \int x^{3}\,\mathrm{d}x temos n=3, então
\int x^{3}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{4}}{4}.
Multiplicando por -30:
-30\int x^{3}\,\mathrm{d}x = -30\cdot\frac{x^{4}}{4}=-\frac{30}{4}x^{4}=-\frac{15}{2}x^{4}.
  • Para \int x^{2}\,\mathrm{d}x temos n=2, então
\int x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{x^{3}}{3}.
Multiplicando por 9:
9\int x^{2}\,\mathrm{d}x = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}.

Passo 6

Somando as primitivas parciais e lembrando de acrescentar a constante de integração C, obtemos a primitiva da função original.

Resposta

5x^{5}-\dfrac{15}{2}x^{4}+3x^{3}+C