calcular los momentos de inercia indicados
De la región R=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq r^{2}, y \geq 0\right\} respecto del eje x.
Passo 1
O enunciado pede calcular o momento de inércia da região
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le r^{2},\; y\ge 0\}
em relação ao eixo x. Informações dadas importantes:
A região R é um semicírculo de raio r (a metade superior do disco).
Não foi indicada densidade, então assumimos densidade superficial uniforme igual a 1 (momento de inércia de área).
A pergunta é: calcular
I_x=\iint_{R} y^{2}\,dA,
ou seja, a integral dupla da função y^{2} sobre a região R.
Passo 2
Escolha do método: como R é uma região circular (semicírculo), é muito mais simples usar coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas daria integrais com raiz (\sqrt{r^{2}-x^{2}}), mais trabalhoso. Nas coordenadas polares os limites ficam simples e a expressão de y também é simples.
Passo 3
Lembrete didático sobre coordenadas polares e jacobiano:
Em coordenadas polares usa-se \rho e \theta com
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
O elemento de área transforma como
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
Assim, a integranda y^{2} fica (\rho\sin\theta)^{2}.
Isto significa que, em polares, a integral dupla será escrita substituindo y por \rho\sin\theta e multiplicando por \rho do jacobiano.
Passo 4
Determinar os limites na polar:
Para o semicírculo superior: \theta varia de 0 a \pi.
O raio \rho varia de 0 a r.
Portanto a integral para I_x é
Verificação rápida (intuitiva): o momento de inércia do disco inteiro (raio r) em torno de um eixo diametral vale \dfrac{\pi r^{4}}{4}; como o semicírculo é metade do disco e a integranda y^{2} é simétrica entre a metade superior e inferior, o semicírculo dá metade do valor do disco inteiro, ou seja \dfrac{\pi r^{4}}{8} — consistente com o cálculo.