calcular los momentos de inercia indicados
De la región R=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq r^{2}, y \geq 0\right\} respecto del eje x.

Passo 1

O enunciado pede calcular o momento de inércia da região
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le r^{2},\; y\ge 0\}
em relação ao eixo x. Informações dadas importantes:
  • A região R é um semicírculo de raio r (a metade superior do disco).
  • Não foi indicada densidade, então assumimos densidade superficial uniforme igual a 1 (momento de inércia de área).
  • A pergunta é: calcular
I_x=\iint_{R} y^{2}\,dA,
ou seja, a integral dupla da função y^{2} sobre a região R.

Passo 2

Escolha do método: como R é uma região circular (semicírculo), é muito mais simples usar coordenadas polares. Em coordenadas cartesianas daria integrais com raiz ( \sqrt{r^{2}-x^{2}}), mais trabalhoso. Nas coordenadas polares os limites ficam simples e a expressão de y também é simples.

Passo 3

Lembrete didático sobre coordenadas polares e jacobiano:
  • Em coordenadas polares usa-se \rho e \theta com
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
  • O elemento de área transforma como
dA=\rho\,d\rho\,d\theta.
  • Assim, a integranda y^{2} fica (\rho\sin\theta)^{2}.
    Isto significa que, em polares, a integral dupla será escrita substituindo y por \rho\sin\theta e multiplicando por \rho do jacobiano.

Passo 4

Determinar os limites na polar:
  • Para o semicírculo superior: \theta varia de 0 a \pi.
  • O raio \rho varia de 0 a r.
    Portanto a integral para I_x é
I_x=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{r}(\rho\sin\theta)^{2}\,\rho\,d\rho\,d\theta.
Simplificando a integranda:
(\rho\sin\theta)^{2}\,\rho=\rho^{3}\sin^{2}\theta,
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I_x=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\left(\int_{0}^{r}\rho^{3}\,d\rho\right)d\theta.

Passo 5

Calcular a integral radial (em \rho):
\int_{0}^{r}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
Expliquei: usei a primitiva \int \rho^{n}d\rho=\rho^{n+1}/(n+1) com n=3.

Passo 6

Fica então
I_x=\frac{r^{4}}{4}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta.
Agora calculamos a integral trigonométrica. Usamos a identidade
\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr).
Assim
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\theta-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira integral vale \pi/2. A segunda integral é
\int_{0}^{\pi}\cos(2\theta)\,d\theta=\left.\frac{\sin(2\theta)}{2}\right|_{0}^{\pi}=0,
pois \sin(0)=\sin(2\pi)=0. Logo
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Substituindo esse resultado em I_x:
I_x=\frac{r^{4}}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi r^{4}}{8}.
Verificação rápida (intuitiva): o momento de inércia do disco inteiro (raio r) em torno de um eixo diametral vale \dfrac{\pi r^{4}}{4}; como o semicírculo é metade do disco e a integranda y^{2} é simétrica entre a metade superior e inferior, o semicírculo dá metade do valor do disco inteiro, ou seja \dfrac{\pi r^{4}}{8} — consistente com o cálculo.

Passo 8

Exemplo numérico para fixar: se r=1, então
I_x=\frac{\pi}{8}\approx 0{,}3927.
Isso ajuda a ter uma noção prática do valor.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi r^{4}}{8}