Calcular o menor número N de subintervalos em que devemos dividir [1,2] para obter
integral1^2 ln x d x
pela regra do trapézio com erro <= 10^-4.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o menor número de subintervalos para dividir o intervalo de forma que a aproximação da integral usando a regra do trapézio tenha um erro menor ou igual a . Para isso, vamos usar a teoria da regra do trapézio e a estimativa de erro associada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a regra do trapézio aproxima a integral de uma função usando segmentos de reta, e o erro dessa aproximação é dado pela fórmula:
|ET| <= (b - a)^312N^2 cdot maxx in [a, b] |f''(x)|
Aqui, , , e precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de f'(x) = 1x :
f''(x) = -1x^2
maxx in [1, 2] |f''(x)| = 11^2 = 1
O valor máximo de no intervalo ocorre em :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do erro e resolver para (2 - 1)^312N^2 cdot 1 <= 10^-4 :
112N^2 <= 10^-4
1 <= 12N^2 times 10^-4
Multiplicando ambos os lados por N^2 >= 112 times 10^-4 = 10.0012 approx 833.333 :
N >= raiz833.333 approx 28.867
Tirando a raiz quadrada:
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

O menor número de subintervalos é 29.

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