Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico e os valores próprios de algumas matrizes. Isso faz parte da Álgebra Linear, onde trabalhamos com autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar o polinômio característico de uma matriz, que envolve calcular o determinante dessa matriz menos lambda vezes a matriz identidade. Depois, resolvemos a equação resultante para encontrar os valores próprios.
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
Primeiro, montamos a matriz 
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar o polinômio característico, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da questão, que envolve a multiplicação de duas matrizes:
Primeiro, fazemos a multiplicação das matrizes:
Agora, montamos 
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são:
Passo 4
Por último, analisamos a terceira matriz:
Montamos 
Calculamos o determinante:
Expandindo:
Esse é o polinômio característico. Resolvendo:
Portanto, os valores próprios são:
Resposta
Os polinômios característicos e os valores próprios das matrizes são:
- 
Para a matriz: - Polinômio característico: 
- Valores próprios: 
, 
 
- Polinômio característico: 
- 
Para a matriz resultante da multiplicação: - Polinômio característico: 
- Valores próprios: 
, 
 
- Polinômio característico: 
- 
Para a matriz: - Polinômio característico: 
- Valores próprios: 
, 
 
- Polinômio característico: 
