Calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o polinômio de Legendre
usando a fórmula de Rodrigues. Essa fórmula é uma ferramenta da matemática que ajuda a encontrar polinômios especiais, como os de Legendre, que são muito úteis em física e engenharia, especialmente em problemas de mecânica e eletromagnetismo. Para isso, vamos precisar usar derivadas de ordem 3 e trabalhar com a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula de Rodrigues para
:
Aqui,
e
, então podemos simplificar o coeficiente:
Então, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir
. Para facilitar, usamos a expansão binomial:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a terceira derivada dessa expressão. Vamos derivar termo a termo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 5
Agora, substituímos a terceira derivada na fórmula de Rodrigues:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Legendre de ordem 3 é: