Calcular o polinômio de Legendre P3(x) usando a fórmula de Rodrigues
P_n(x) = 1/(2^n n!) d^n/(d x^n)((x^2-1)^n)
Observação: Justifique sua resposta em todas as questões acima.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o polinômio de Legendre usando a fórmula de Rodrigues. Essa fórmula é uma ferramenta da matemática que ajuda a encontrar polinômios especiais, como os de Legendre, que são muito úteis em física e engenharia, especialmente em problemas de mecânica e eletromagnetismo. Para isso, vamos precisar usar derivadas de ordem 3 e trabalhar com a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula de Rodrigues para :
Aqui, e , então podemos simplificar o coeficiente:
Então, a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir . Para facilitar, usamos a expansão binomial:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a terceira derivada dessa expressão. Vamos derivar termo a termo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 5

Agora, substituímos a terceira derivada na fórmula de Rodrigues:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Legendre de ordem 3 é:

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