Calcular f'(x) onde: f(x) = arcsen(x / raiz(1 - x^2)), no ponto x = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de no ponto . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, e saber a derivada da função arco seno ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna dentro do arco seno. Vamos chamar:
Então, a função original fica:
Para encontrar a derivada de , vamos usar a regra da cadeia, que diz que:

Passo 3

Agora, precisamos calcular , a derivada de em relação a :
Podemos reescrever como:
Usando a regra do produto, temos:
Calculando cada parte:
Então:
Podemos juntar os termos:

Passo 4

Agora, voltando à derivada de :
Substituindo e :
Então:
Portanto:
Assim:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos substituir na expressão de :
Calculando passo a passo:
Então:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada de no ponto é:

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