Calcular o rotacional do campo vetorial A=x^2 y^2 ax+2 x y z ay+z^2 az no ponto (1, -2, 1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
A(x,y,z)=x^2y^2,ax+2xyz,ay+z^2,az
e pede o rotacional nablatimesA no ponto (1,-2,1). O conteúdo aqui é cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, usando derivadas parciais para o operador rotacional.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o rotacional de A é
nabla times A = l(partial Azpartial y-partial Aypartial zr)ax + l(partial Axpartial z-partial Azpartial xr)ay + l(partial Aypartial x-partial Axpartial yr)az

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais dos componentes
partial Azpartial y =partial(z^2)partial y=0, partial Aypartial z =partial(2xyz)partial z=2xy,
partial Axpartial z =partial(x^2y^2)partial z=0, partial Azpartial x =partial(z^2)partial x=0,
partial Aypartial x =partial(2xyz)partial x=2yz, partial Axpartial y =partial(x^2y^2)partial y=2x^2y
Substituindo em cada componente do rotacional:
(nabla times A)x =0-2xy=-2xy, (nabla times A)y =0-0=0, (nabla times A)z =2yz-2x^2y

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y,z)=(1,-2,1):
(nabla times A)x|(1,-2,1) =-2cdot1cdot(-2)=4, (nabla times A)y|(1,-2,1)=0,
(nabla times A)z|(1,-2,1) =2cdot(-2)cdot1-2cdot1^2cdot(-2)=-4+4=0

Resposta

nabla times A(1,-2,1)=4,ax

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