Calcular, por Séries de Potências, o valor do seguintes limites: lim x 0 arctg x-sen xx^3 cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando Séries de Potências. A questão pede para calcular . Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções , e . Essas séries nos ajudam a aproximar funções próximas de um ponto, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as séries de Taylor para cada função até o termo arctg x = x - x^33 + x^55 - dots , já que vamos dividir por sen x = x - x^36 + x^5120 - dots :
  • Para cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas séries na expressão arctg x - sen x = (x - x^33 + x^55) - (x - x^36 + x^5120) :
arctg x - sen x = -x^33 + x^36 + x^55 - x^5120 = -x^36 + 23x^5120
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos considerar o denominador x^3 cos x = x^3 (1 - x^22 + x^424) = x^3 - x^52 + x^724 :
x^3 cos x approx x^3
Como estamos calculando o limite para próximo de 0, podemos ignorar termos de ordem superior, então aproximamos:

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na expressão do limite:
lim x 0 arctg x - sen xx^3 cos x = lim x 0 -x^36 + 23x^5120x^3 = lim x 0 (-16 + 23x^2120)

Passo 6

Como lim x 0 (-16 + 0) = -16 está tendendo a 0, o termo também tende a 0. Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é .

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