Calcular a taxa efetiva mensal equivalente à taxa efetiva de 30 \% a.a. Verificar a equivalência.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: taxa efetiva anual de 30\%. Vou denotar essa taxa por i_{a}.
  • Pedido: encontrar a taxa efetiva mensal equivalente, que vou denotar por i_{m}.
  • Pedido adicional: verificar a equivalência (ou seja, mostrar que a taxa mensal encontrada realmente equivale, em regime composto, à taxa anual dada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • i_{a}=0{,}30 (isto é, 30\% ao ano).
  • Quer-se i_{m} tal que a capitalização mensal composta ao longo de 12 meses produza o mesmo fator de acumulação que i_{a} em um ano.

Passo 2

Entendendo o conceito e a relação entre taxas efetivas anual e mensal (intuição e fórmula).
  • Taxa efetiva anual i_{a} significa que um capital C ao fim de 1 ano vale C(1+i_{a}).
  • Taxa efetiva mensal i_{m} significa que o mesmo capital C, capitalizado mês a mês durante 12 meses, vale C(1+i_{m})^{12}.
  • Para que as duas taxas sejam equivalentes (mesmo efeito em 1 ano) é preciso que o fator de acumulação anual seja o mesmo em ambos os modos de capitalização. Logo vale a igualdade
1+i_{a}=(1+i_{m})^{12}.
  • Nessa fórmula:
    • i_{a} é a taxa efetiva anual (aqui 0{,}30),
    • i_{m} é a taxa efetiva mensal que queremos achar,
    • o expoente 12 aparece porque há 12 meses em 1 ano.

Passo 3

Isolando i_{m} na relação (1+i_{m})^{12}=1+i_{a}.
  • Tomando a raiz dodecimal (ou exponenciação por 1/12) em ambos os lados obtemos
1+i_{m}=(1+i_{a})^{1/12}.
  • Subtraindo 1,
i_{m}=(1+i_{a})^{1/12}-1.
  • Essa é a fórmula que usa a taxa efetiva anual para achar a taxa efetiva mensal equivalente.

Passo 4

Aplicando a fórmula com i_{a}=0{,}30 e calculando numericamente de forma didática (sem pular etapas).
  • Primeiro escrevo o valor:
1+i_{a}=1+0{,}30=1{,}30.
  • Então
1+i_{m}=(1{,}30)^{1/12}.
  • Para calcular a raiz 12-ésima de 1{,}30 de forma prática, uso logaritmos naturais: se y=(1{,}30)^{1/12} então \ln y=\dfrac{1}{12}\ln(1{,}30). Logo
1+i_{m}=\exp\!\Big(\frac{1}{12}\ln(1{,}30)\Big).
  • Calculemos \ln(1{,}30). Um valor conhecido (ou obtido por tabela/ calculadora) é
\ln(1{,}30)\approx 0{,}2623642644.
  • Dividindo por 12:
\frac{1}{12}\ln(1{,}30)\approx 0{,}0218636887.
  • Agora aplico a exponencial. Como o número é pequeno, posso usar a expansão de Taylor de \exp(x) para obter uma boa aproximação prática:
\exp(x)\approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6},
com x=0{,}0218636887. Então
\begin{aligned} \exp(x)&\approx 1+0{,}0218636887+\frac{(0{,}0218636887)^{2}}{2}+\frac{(0{,}0218636887)^{3}}{6}\\[4pt] &\approx 1+0{,}0218636887+0{,}0002390105+0{,}0000017412\\[4pt] &\approx 1{,}0221044404. \end{aligned}
  • Assim
1+i_{m}\approx 1{,}0221044404,
portanto
i_{m}\approx 0{,}0221044404.
  • Em porcentagem mensal isso é aproximadamente 2{,}2104\% ao mês.]

Passo 5

Verificando a equivalência (checar que a taxa mensal encontrada realmente gera 30\% ao ano).
  • Verificação algébrica exata: pela fórmula de construção,
(1+i_{m})^{12}=\big((1+i_{a})^{1/12}\big)^{12}=1+i_{a},
logo a igualdade é verdadeira por construção.
  • Verificação numérica aproximada (substituindo o valor encontrado):
(1+0{,}0221044404)^{12}\approx 1{,}30,
o que corresponde a 30\% ao ano, confirmando a equivalência numericamente.

Resposta

i_{\text{mensal}}\approx 0{,}0221044404 (ou seja, aproximadamente 2{,}2104\% ao mês)
(1+i_{\text{mensal}})^{12}=1{,}30 (verificação: corresponde a 30\% ao ano)