Calcular a taxa efetiva mensal equivalente à taxa efetiva de
a.a. Verificar a equivalência.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: taxa efetiva anual de
. Vou denotar essa taxa por . - Pedido: encontrar a taxa efetiva mensal equivalente, que vou denotar por
. - Pedido adicional: verificar a equivalência (ou seja, mostrar que a taxa mensal encontrada realmente equivale, em regime composto, à taxa anual dada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(isto é, ao ano). - Quer-se
tal que a capitalização mensal composta ao longo de 12 meses produza o mesmo fator de acumulação que em um ano.
Passo 2
Entendendo o conceito e a relação entre taxas efetivas anual e mensal (intuição e fórmula).
- Taxa efetiva anual
significa que um capital ao fim de 1 ano vale . - Taxa efetiva mensal
significa que o mesmo capital , capitalizado mês a mês durante 12 meses, vale . - Para que as duas taxas sejam equivalentes (mesmo efeito em 1 ano) é preciso que o fator de acumulação anual seja o mesmo em ambos os modos de capitalização. Logo vale a igualdade
- Nessa fórmula:
-
é a taxa efetiva anual (aqui ), -
é a taxa efetiva mensal que queremos achar, - o expoente
aparece porque há 12 meses em 1 ano.
-
Passo 3
Isolando
na relação
.
- Tomando a raiz dodecimal (ou exponenciação por
) em ambos os lados obtemos
- Subtraindo 1,
- Essa é a fórmula que usa a taxa efetiva anual para achar a taxa efetiva mensal equivalente.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
e calculando numericamente de forma didática (sem pular etapas).
- Primeiro escrevo o valor:
- Então
- Para calcular a raiz
-ésima de de forma prática, uso logaritmos naturais: se então . Logo
- Calculemos
. Um valor conhecido (ou obtido por tabela/ calculadora) é
- Dividindo por
:
- Agora aplico a exponencial. Como o número é pequeno, posso usar a expansão de Taylor de
para obter uma boa aproximação prática:
com
. Então
- Assim
portanto
- Em porcentagem mensal isso é aproximadamente
ao mês.]
Passo 5
Verificando a equivalência (checar que a taxa mensal encontrada realmente gera
ao ano).
- Verificação algébrica exata: pela fórmula de construção,
logo a igualdade é verdadeira por construção.
- Verificação numérica aproximada (substituindo o valor encontrado):
o que corresponde a
ao ano, confirmando a equivalência numericamente.