Calcular el trabajo realizado cuando un gas se expande desde un volumen de 1 litro a la presión de 8 atm hasta un volumen de 10 litros en los siguientes casos:
Proceso isoentrópico con \gamma=1,4.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um gás que se expande adiabaticamente (isoentrópico) de V_{1}=1,L e P_{1}=8,atm até V_{2}=10,L, com \gamma=1,4. Vamos usar a lei do processo adiabático e a definição de trabalho em termodinâmica.

Passo 2

Num processo adiabático reversível vale
P\,V^{\gamma}=C
onde C é constante. Em particular,
C = P_{1}\,V_{1}^{\gamma}\,.

Passo 3

O trabalho W realizado pelo gás é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}} C\,V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{1-\gamma}\bigl(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\bigr).
Substituindo C=P_{1}V_{1}^{\gamma}, obtém-se também a forma útil
W = \frac{P_{2}\,V_{2} - P_{1}\,V_{1}}{1-\gamma},
pois P_{2}V_{2}=C\,V_{2}^{-\gamma}V_{2}=P_{1}V_{1}^{\gamma}V_{2}^{1-\gamma}.

Passo 4

Calculamos a pressão final P_{2} pela relação adiabática:
P_{2}=P_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma} =8\;\mathrm{atm}\cdot\Bigl(\tfrac{1}{10}\Bigr)^{1,4} \approx0{,}3185\;\mathrm{atm}.

Passo 5

Agora aplicamos
W = \frac{P_{2}V_{2} - P_{1}V_{1}}{1-\gamma} = \frac{(0{,}3185\cdot10) - (8\cdot1)}{1 - 1{,}4} = \frac{3{,}185 - 8}{-0{,}4}\;\mathrm{atm\cdot L} \approx12{,}04\;\mathrm{atm\cdot L}.
Convertendo para joules 1\;\mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\;\mathrm{J}:
W \approx 12{,}04 \times 101{,}325\;\mathrm{J} \approx1{,}22\times10^{3}\;\mathrm{J}.

Resposta

W\approx1{,}22\times10^{3}\,\mathrm{J}.

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