7- Se comprime una masa de aire desde un volumen de 8 litros a la presión de 1 atm y temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} hasta un volumen de 1 litro a la presión de 13 atm . Determinar:
a- Tipo de transformación (determinar el valor del coeficiente n ).
b- La masa de aire.
c- Temperatura final e n^{\circ} \mathrm{C}.
d- Variación de la energía interna.
e- Trabajo realizado.
f- Calor intercambiado con el medio exterior.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma massa de ar inicialmente em (P_{1},V_{1},T_{1})=(1\:\text{atm},8\:\text{L},27^\circ\text{C}) que é comprimida até (P_{2},V_{2})=(13\:\text{atm},1\:\text{L}).
O processo é politrópico, ou seja, satisfaz
P\,V^n=\text{constante}.
Para resolver precisamos de:
– coeficiente politrópico n,
– massa m pelo gás ideal,
– temperatura final T_{2},
– variação de energia interna \Delta U,
– trabalho W (positivo se feito pelo gás),
– calor Q (positivo se adquirido pelo gás).

Passo 2

Para achar n usamos
\frac{P_{2}}{P_{1}} = \Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{n} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{\ln\bigl(P_{2}/P_{1}\bigr)}{\ln\bigl(V_{1}/V_{2}\bigr)}.
Substituindo P_{2}/P_{1}=13 e V_{1}/V_{2}=8,
n = \frac{\ln(13)}{\ln(8)} \approx 1{,}23.

Passo 3

Para a massa usamos a equação do gás ideal
P_{1}V_{1}=m\,R\,T_{1}.
Convertendo para SI:
P_{1}=101325\:\mathrm{Pa},\; V_{1}=8\times10^{-3}\:\mathrm{m^{3}},\; T_{1}=27^\circ\text{C}=300\:\mathrm{K},\; R=287\:\mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo
m = \frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} \approx 0{,}00941\:\mathrm{kg}.

Passo 4

A temperatura final em processo politrópico satisfaz
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\!\tfrac{n-1}{n}}.
Com n=1{,}23 e T_{1}=300\:\mathrm{K},
T_{2} = 300 \cdot 13^{\!\tfrac{1{,}23-1}{1{,}23}} \approx 488{,}1\:\mathrm{K} \quad\Longrightarrow\quad T_{2}=215{,}1^\circ\text{C}.

Passo 5

A variação de energia interna de um gás diatômico é
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}),
onde c_{v}= \tfrac{R}{\gamma-1} = \tfrac{287}{0{,}4}\approx717{,}5\:\mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Assim
\Delta U \approx 0{,}00941 \cdot 717{,}5 \cdot (488{,}1 -300) \approx 1{,}27\times10^{3}\:\mathrm{J}.

Passo 6

O trabalho realizado pelo gás em processo politrópico é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV = \frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
Convertendo para SI: P_{2}V_{2}=13\times101325\times10^{-3}=1317{,}2\:\mathrm{J}, P_{1}V_{1}=810{,}6\:\mathrm{J}, e 1-n=-0{,}23,
W = \frac{1317{,}2 - 810{,}6}{-0{,}23} \approx -2{,}16\times10^{3}\:\mathrm{J}.
Ou seja, o gás recebe trabalho de 2164\:\mathrm{J}.

Passo 7

Pela primeira lei:
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta U + W.
Como W=-2164\:\mathrm{J} e \Delta U=1270\:\mathrm{J},
Q = 1270 + (-2164) \approx -894\:\mathrm{J}.
O sinal negativo indica que o gás cedeu 894\:\mathrm{J} ao ambiente.

Resposta

(a) Processo politrópico com n\approx1{,}23.
(b) m\approx0{,}00941\:\mathrm{kg}.
(c) T_{2}\approx215{,}1^\circ\text{C}.
(d) \Delta U\approx1{,}27\times10^{3}\:\mathrm{J}.
(e) W\approx-2{,}16\times10^{3}\:\mathrm{J} (isto é, trabalho de 2164\:\mathrm{J} sobre o gás).
(f) Q\approx-894\:\mathrm{J} (o gás cede 894\:\mathrm{J} ao exterior).

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