Calcular o valor da constante de equilíbrio e da energia livre, \Delta \mathrm{G} da reação realizada a volume constante e com concentração inicial de \mathrm{A}, \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}: \mathbf{A} \rightleftarrows 2 \mathbf{R}, quando a conversão de equilíbrio possui, à temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, os seguintes valores:
\mathrm{X}_{\mathrm{A}, \mathrm{eq}}=50 \%

Passo 1

O enunciado dá a reação \mathbf{A} \rightleftarrows 2\,\mathbf{R} e pede dois valores: a constante de equilíbrio e a energia livre \Delta G da reação realizada a volume constante. Dados fornecidos:
\text{Concentração inicial de A: }\; C_{A0}=1\\ \mathrm{mol\!/L}çã
\text{Temperatura: }\; 27^\circ\mathrm{C}
\text{Conversão de equilíbrio de A: }\; X_{A,\mathrm{eq}}=50\%=0{,}50ãí
Pressuposição natural (não explicitada no enunciado): não há \mathrm{R} inicialmente (ou sua concentração é desprezível), e trabalhamos com constantes de equilíbrio em termos de concentrações ( K_c). A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Entendendo o significado de conversão e como ela afeta concentrações (aula curta e prática).
  • A conversão de \mathrm{A} é a fração molar de \mathrm{A} consumida: \,X_A=\dfrac{\text{mol de A reagidos}}{\text{mol de A inicial}}.
  • Começando com C_{A0}=1\\ \mathrm{mol/L} e sem \mathrm{R} inicial, se a conversão é X_{A,\mathrm{eq}}=0{,}50, então a quantidade de \mathrm{A} que reagiu por litro é 1\cdot 0{,}50=0{,}50\\ \mathrm{mol}.
  • Pela estequiometria \mathrm{A}\to 2\mathrm{R}, cada mol de \mathrm{A} que reage produz 2 mol de \mathrm{R}. Isso é crucial para calcular as concentrações de equilíbrio.

Passo 3

Cálculo das concentrações de equilíbrio (passo a passo, com números fáceis de fazer sem calculadora).
  • Concentração de \mathrm{A} no equilíbrio:
C_{A,\mathrm{eq}}=C_{A0}\,(1-X_{A,\mathrm{eq}})=1\cdot(1-0{,}50)=0{,}50\\ \mathrm{mol/L}.
  • Concentração de \mathrm{R} no equilíbrio (partindo de zero):
C_{R,\mathrm{eq}}=2\cdot(C_{A0}\,X_{A,\mathrm{eq}})=2\cdot(1\cdot 0{,}50)=1{,}0\\ \mathrm{mol/L}.
Resumo numérico: \,C_{A,\mathrm{eq}}=0{,}50\\ \mathrm{mol/L} e \,C_{R,\mathrm{eq}}=1{,}0\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Definição da constante de equilíbrio em concentrações para a reação e aplicação numérica.
  • Para a reação \mathrm{A}\rightleftarrows 2\mathrm{R}, a expressão da constante de equilíbrio em termos de concentrações é
K_c=\dfrac{[R]^2}{[A]}.
Aqui [R] e [A] são as concentrações molares em equilíbrio.
  • Substituindo os valores do Passo 3:
K_c=\dfrac{(1{,}0)^2}{0{,}50}= \dfrac{1{,}0}{0{,}50}=2.
Portanto \,K_c=2. (Observação prática: K_c é adimensional quando usamos atividades, mas numericamente obtivemos 2 usando concentrações em mol/L.)

Passo 5

Relação entre energia livre e constante de equilíbrio (aula sobre termos e fórmulas).
  • A relação fundamental que liga a energia livre padrão de reação \Delta G^\circ e a constante de equilíbrio K é
\Delta G^\circ=-RT\ln K,
onde:
  • R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\!/mol\,K},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin,
  • \ln é o logaritmo natural,
  • K aqui é a constante de equilíbrio (a mesma que calculamos como K_c se estivermos usando concentrações como atividades).
  • Além disso, a variação de energia livre em uma condição qualquer é
\Delta G=\Delta G^\circ + RT\ln Q,
onde Q é o quociente de reação. No equilíbrio Q=K e portanto \Delta G=0. Assim, é comum calcular \Delta G^\circ a partir de K e lembrar que \Delta G_{\text{(no equilíbrio)}}=0í.

Passo 6

Cálculo numérico de \Delta G^\circ usando os valores conhecidos.
  • Primeiro convertemos a temperatura:
27^\circ\mathrm{C}=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}\approx 300\\ \mathrm{K}.
(Usarei T=300\\ \mathrm{K} para cálculo simples; se quiser maior precisão usar 300{,}15\\ \mathrm{K}.)
  • Agora aplicamos \Delta G^\circ=-RT\ln K com K=2:
\Delta G^\circ = - (8{,}314\\ \mathrm{J\!/mol\,K})\cdot(300\\ \mathrm{K})\cdot\ln 2.
  • Numérico: \ln 2\approx 0{,}693147. Então
\Delta G^\circ \approx -8{,}314\cdot 300\cdot 0{,}693147 \\ \mathrm{J/mol}.
Calcule passo a passo: 300\cdot 0{,}693147\approx 207{,}944, e 8{,}314\cdot 207{,}944\approx 1{,}728{,}7\\ \mathrm{J/mol}\times 10^{3}.
  • Portanto
\Delta G^\circ \approx -1{,}73\times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol} = -1{,}73\\ \mathrm{kJ/mol}.

Passo 7

Interpretação final (o que esse \Delta G^\circ e K significam, e lembrete útil para prova).
  • Resultado prático: K_c=2 indica que, na condição dada, os produtos ( \mathrm{R}) têm maior concentração relativa do que reagente \mathrm{A} (porque [R]^2/[A]=2).
  • \Delta G^\circ=-1{,}73\\ \mathrm{kJ/mol} é negativo, então a formação de produtos é levemente favorecida sob condições-padrão a 300\\ \mathrm{K}.
  • Lembre-se: no ponto de equilíbrio real \Delta G=0. O valor calculado acima é \Delta G^\circ (energia livre padrão) obtido a partir de K pela relação \Delta G^\circ=-RT\ln K.

Resposta

K_c=2\n
\Delta G^\circ=-1{,}73\\ \mathrm{kJ\!/mol}\n
\Delta G_{\text{(na condição de equilíbrio)}}=0çãí

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