Sem calcular os valores de x, y, z \mathrm{e} w, obtenha o valor de x w-y z, se
\left[\begin{array}{cc} x & y \\\ z & w \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 3 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz desconhecida
\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix}
e a matriz conhecida
\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},
e afirma que o produto das duas é a matriz identidade de ordem 2:
\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
A pergunta é: sem calcular x,y,z,w, determine o valor de xw-yz.]

Passo 2

Uma observação útil (sem resolver entradas individuais) é chamar a matriz desconhecida de M:
M=\begin{pmatrix}x & y \\[4pt] z & w\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},
e a equação do enunciado fica M B = I, onde I é a matriz identidade 2\times2.]

Passo 3

Agora uma propriedade-chave de matrizes que vamos usar: o determinante é multiplicativo, isto é, para duas matrizes quadradas compatíveis vale
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Aplicando \det na igualdade M B = I obtemos
\det(M)\det(B)=\det(I).
Lembre que a matriz identidade tem determinante 1, ou seja, \det(I)=1.

Passo 4

Para facilitar, escrevo a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\det(A)=ad-bc.
Isso vale tanto para B quanto para M. Em particular,
\det(B)=2\cdot4-3\cdot3.]

Passo 5

Calculemos \det(B):
\det(B)=2\cdot4-3\cdot3=8-9=-1.
Da igualdade do Passo 3 segue
\det(M)\det(B)=1 \quad\Rightarrow\quad \det(M)=\frac{1}{\det(B)}.
Portanto
\det(M)=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Finalmente, usando novamente a fórmula do determinante para M=\begin{pmatrix}x&y\\[4pt] z&w\end{pmatrix}, tem-se
\det(M)=xw-yz.
Como \det(M)=-1, concluímos que xw-yz=-1.]

Resposta

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