Sem calcular os valores de
, obtenha o valor de
, se
Passo 1
O enunciado dá a matriz desconhecida
e a matriz conhecida
e afirma que o produto das duas é a matriz identidade de ordem
:
A pergunta é: sem calcular
, determine o valor de
.]
Passo 2
Uma observação útil (sem resolver entradas individuais) é chamar a matriz desconhecida de
:
e a equação do enunciado fica
, onde
é a matriz identidade
.]
Passo 3
Agora uma propriedade-chave de matrizes que vamos usar: o determinante é multiplicativo, isto é, para duas matrizes quadradas compatíveis vale
Aplicando
na igualdade
obtemos
Lembre que a matriz identidade tem determinante
, ou seja,
.
Passo 4
Para facilitar, escrevo a fórmula do determinante de uma matriz
. Se
então
Isso vale tanto para
quanto para
. Em particular,
Passo 5
Calculemos
:
Da igualdade do Passo 3 segue
Portanto
Passo 6
Finalmente, usando novamente a fórmula do determinante para
, tem-se
Como
, concluímos que
.]