Calcular o volume molar do argônio, a 100^{\circ} \mathrm{C} e 100 atm , na hipótese de o gás ser um gás de van der Waals. Compare e comente o resultado obtido supondo um gás perfeito.

Passo 1

O enunciado pede o volume molar de argônio a T=100^\circ\mathrm{C} ( =373{,}15 K) e P=100,atm assumindo o gás de van der Waals, e comparar com a hipótese de gás perfeito. O conteúdo da matéria é o uso da equação de van der Waals
\bigl(P+\tfrac{a}{V_m^2}\bigr)\,(V_m - b)=R\,T
onde a e b são constantes específicas do gás.

Passo 2

Precisamos dos dados para o argônio:
a = 1{,}355\;\mathrm{L^2\,atm\,mol^{-2}},\qquad b = 0{,}03201\;\mathrm{L\,mol^{-1}}, \qquad R = 0{,}082057\;\mathrm{L\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
E já convertemos T=100^\circ\mathrm{C}\to373{,}15 K e temos P=100,atm.

Passo 3

Escrevendo a equação de van der Waals em forma de equação cúbica para V_m:
\bigl(P+\tfrac{a}{V_m^2}\bigr)(V_m - b)=R\,T
Multiplicando por V_m^2 e reorganizando, obtemos
P\,V_m^3 -\bigl(P\,b+R\,T\bigr)V_m^2 +a\,V_m -a\,b =0.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos em
100\,V_m^3 -\bigl(100\cdot0{,}03201 + 0{,}082057\cdot373{,}15\bigr)V_m^2 +1{,}355\,V_m -1{,}355\cdot0{,}03201 =0
calcula-se
100\,V_m^3 -33{,}820\,V_m^2 +1{,}355\,V_m -0{,}0433 =0.

Passo 5

Como referência inicial, usamos o volume ideal
V_{m,\mathrm{id}} = \frac{R\,T}{P} = \frac{0{,}082057\cdot373{,}15}{100}\approx0{,}3062\;\mathrm{L/mol},
e aplicamos um método numérico (por exemplo, Newton) para refinar a raiz desse polinômio cúbico.

Passo 6

Iterando-se a partir de V_m\approx0{,}306 L, chega-se à solução física (raiz real e positiva)
V_{m,\mathrm{vdW}}\approx0{,}2975\;\mathrm{L/mol}.

Passo 7

Para efeito de comparação, o volume molar ideal era
V_{m,\mathrm{id}} \approx0{,}3062\;\mathrm{L/mol}.

Passo 8

O volume de van der Waals é cerca de 2{,}8\% menor que o ideal. Isso ocorre porque a correção a/V_m^2 representa forças de atração entre moléculas, reduzindo a “pressão efetiva” e, para manter P constante, exige-se um volume ligeiramente menor.

Resposta

V_{m,\mathrm{vdW}}\approx0{,}2975\;\mathrm{L/mol} V_{m,\mathrm{id}}\approx0{,}3062\;\mathrm{L/mol}
Comentário: o valor de van der Waals é ~2,8% menor que o ideal, refletindo as forças atrativas entre átomos de argônio.

Exercícios relacionados