Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
a)
e
;
b)
e
;
c)
e
;
d)
e
;
e)
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, vamos calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies
,
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla para encontrar a área da base e depois multiplicar pela altura em
. Precisamos entender como essas superfícies se relacionam para definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies no espaço. A curva
é uma parábola que abre para cima no plano
. A linha
é uma reta horizontal que corta a parábola. A superfície
é um plano horizontal paralelo ao plano
.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de
e
para a integral. Sabemos que
varia entre a parábola
e a reta
. Para encontrar os limites de
, resolvemos
, o que dá
e
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para a área da base:
Integrando em relação a
primeiro:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Passo 6
Agora que temos a área da base, podemos encontrar o volume multiplicando pela altura em
, que é constante em
:
Resposta
O volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas é
unidades cúbicas.