Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
a) y = x^2, y = 4 e z = 4;
b) z = 1 - x^2, z = 0, x + y = 4 e y = 0;
c) x^2 + y^2 = 4, y + z = 8 e z = 0;
d) z = 9 - x^2 - y^2 e z = x^2 + y^2;
e) x^2 + y^2 = 4 e z^2 + x^2 = 4.

Passo 1

Então, vamos calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies , e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla para encontrar a área da base e depois multiplicar pela altura em . Precisamos entender como essas superfícies se relacionam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies no espaço. A curva é uma parábola que abre para cima no plano . A linha é uma reta horizontal que corta a parábola. A superfície é um plano horizontal paralelo ao plano .

Passo 3

Vamos encontrar os limites de e para a integral. Sabemos que varia entre a parábola e a reta . Para encontrar os limites de , resolvemos , o que dá e . Portanto, varia de a .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para a área da base:
Á
Integrando em relação a primeiro:
Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:

Passo 6

Agora que temos a área da base, podemos encontrar o volume multiplicando pela altura em , que é constante em :
Á

Resposta

O volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas é unidades cúbicas.

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