Calculate the change in the entropies of the system and the surroundings, and the total change in entropy, when a sample of nitrogen gas of mass 14 g at 298 K and 1.00 bar doubles its volume in
an isothermal reversible expansion

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá:
  • Pede: calcular a variação de entropia do sistema ( \Delta S_{\text{sis}}), a variação de entropia do entorno ( \Delta S_{\text{ent}}) e a variação total de entropia ( \Delta S_{\text{tot}}) quando uma amostra de nitrogénio expande isotermicamente e reversivelmente, dobrando seu volume.
  • Dados fornecidos:
    • massa do gás: 14\\ \mathrm{g};
    • temperatura: 298\\ \mathrm{K};
    • pressão inicial: 1{,}00\\ \mathrm{bar} (não será necessária para a variação de entropia em processo isotérmico reversível quando se conhece a razão de volumes);
    • o volume final é o dobro do volume inicial: V_f = 2V_i.
  • Lembrete: o gás é nitrogênio molecular \mathrm{N}_2, cujo massa molar aproximada é 28{,}02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.

Passo 2

Calcular o número de mols n da amostra (isso é necessário porque as fórmulas usam n):
  • A definição: n = \dfrac{\text{massa}}{\text{massa molar}}.
  • Substituindo os números: n = \dfrac{14\\ \mathrm{g}}{28{,}02\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}} \approx 0{,}4996\\ \mathrm{mol}\approx 0{,}50\\ \mathrm{mol}.
  • Interpretação: são aproximadamente meio mol de \mathrm{N}_2. Vou usar n=0{,}4996\\ \mathrm{mol} nas contas e arredondar o resultado final.

Passo 3

Lembrar a relação básica entre calor reversível e entropia e a expressão útil para um gás ideal isotérmico reversível:
  • Definição termodinâmica de entropia para um processo reversível: dS=\dfrac{\delta q_{\text{rev}}}{T},onde \delta q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura (em kelvin).
  • Para um gás ideal em transformação isotérmica (temperatura constante), a variação de energia interna é zero ( \Delta U=0). Pela primeira lei, \Delta U = q+w = 0 \quad\Rightarrow\quad q_{\text{rev}}=-w_{\text{rev}}.
  • Trabalho reversível em expansão isotérmica de gás ideal: w_{\text{rev}} = -\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = -\int_{V_i}^{V_f} \dfrac{nRT}{V}\,dV = -nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).(Aqui R é a constante universal dos gases, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.)
  • Portanto o calor reversível absorvido pelo sistema é q_{\text{rev}} = -w_{\text{rev}} = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Inserindo isso em dS e integrando (temperatura constante): \Delta S_{\text{sis}} = \dfrac{q_{\text{rev}}}{T} = nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Explicação em palavras: para expansão isotérmica reversível de um gás ideal, a entropia do sistema aumenta na mesma proporção do calor absorvido dividido pela temperatura; a expressão depende só do número de mols, R e da razão de volumes.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso específico ( V_f = 2V_i):
  • Substituir \dfrac{V_f}{V_i}=2 e n calculado anteriormente: \Delta S_{\text{sis}} = nR\ln(2).
  • Valores numéricos: n = 0{,}4996\\ \mathrm{mol},\qquad R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\qquad \ln(2)=0{,}693147\ldots
  • Cálculo passo a passo: nR = 0{,}4996\times 8{,}314 \approx 4{,}157\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\Delta S_{\text{sis}} = 4{,}157\times 0{,}693147\approx 2{,}882\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos): \Delta S_{\text{sis}} \approx 2{,}88\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia do entorno ( \Delta S_{\text{ent}}):
  • O entorno (ou vizinhança térmica) troca calor com o sistema. Se o sistema absorveu q_{\text{rev}} de calor, o entorno perdeu essa mesma quantidade: q_{\text{ent}} = -q_{\text{rev}}.
  • A variação de entropia do entorno, para uma troca de calor a temperatura T (assume-se o entorno a mesma T em processo isotérmico reversível), é \Delta S_{\text{ent}} = \dfrac{q_{\text{ent}}}{T} = -\dfrac{q_{\text{rev}}}{T}.
  • Mas \dfrac{q_{\text{rev}}}{T}=\Delta S_{\text{sis}}. Logo \Delta S_{\text{ent}} = -\Delta S_{\text{sis}}.
  • Substituindo o valor numérico: \Delta S_{\text{ent}} = -2{,}88\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Calcular a variação total de entropia do universo ( \Delta S_{\text{tot}}) e interpretar:
  • A variação total é a soma das variações do sistema e do entorno: \Delta S_{\text{tot}} = \Delta S_{\text{sis}} + \Delta S_{\text{ent}}.
  • Substituindo os valores: \Delta S_{\text{tot}} = 2{,}88 + (-2{,}88) = 0{,}00\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Interpretação física: para um processo reversível e isotérmico o aumento de entropia do sistema é exatamente compensado pela diminuição de entropia do entorno, portanto não há produção de entropia líquida — o processo é idealmente reversível.

Resposta

\Delta S_{\text{sis}} = 2{,}88\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{\text{ent}} = -2{,}88\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{\text{tot}} = 0{,}00\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

Exercícios relacionados