Calculate the change in the entropies of the system and the surroundings, and the total change in entropy, when the volume of a sample of argon gas of mass 21 g at 298 K and 1.50 bar increases from 1.20 \mathrm{dm}^{3} to 4.60 \mathrm{dm}^{3} in
an isothermal irreversible expansion against p_{\mathrm{ex}}=0, and (c) an adiabatic reversible expansion.

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos pelo enunciado (não vou resolver nada ainda, só organizar o que temos):
  • Massa do argônio: m=21\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura: T=298\\ \mathrm{K}.
  • Pressão informada no enunciado: p=1,50\\ \mathrm{bar} (o enunciado fornece esse valor).
  • Volume inicial: V_i=1,20\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Volume final: V_f=4,60\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • No caso (isotérmico irreversível) a expansão é feita contra p_{\mathrm{ex}}=0 (expansão livre contra o vácuo).
  • No caso (c) a expansão é adiabática e reversível.
Informação adicional que usarei (constantes e propriedades do argônio):
  • Massa molar do argônio: M_{\mathrm{Ar}}=39{,}948\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar — explicação didática:
  1. Definição de entropia: a variação de entropia de um sistema entre dois estados é dada por
\Delta S_{\text{sys}}=\int_{i}^{f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado ao longo de um processo reversível que leva o sistema do estado inicial ao final, e T é a temperatura.
  1. Importante: a variação de entropia do sistema é uma função de estado — depende apenas dos estados inicial e final, não do caminho. Isso significa que, mesmo que o processo real seja irreversível, para calcular \Delta S_{\text{sys}} podemos imaginar um caminho reversível entre os mesmos estados e integrar \delta Q_{\text{rev}}/T.
  2. Para um gás ideal monoatômico (como o argônio), numa transformação isotérmica reversível vale
\Delta S_{\text{sys}}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right),
porque \delta Q_{\text{rev}}=p\,dV e para um processo reversível isotérmico p=nRT/V, assim
\Delta S_{\text{sys}}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{p\,dV}{T}=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nR}{V}\,dV=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  1. A variação de entropia do redor (surroundings) é dada por
\Delta S_{\text{surr}}=-\frac{q_{\text{sys}}}{T},
onde q_{\text{sys}} é o calor absorvido pelo sistema (portanto o entorno perde q_{\text{sys}}). Assim, se o processo não troca calor ( q_{\text{sys}}=0), então \Delta S_{\text{surr}}=0.
  1. A variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}.
A segunda lei diz que \Delta S_{\text{total}}\ge 0, com igualdade só em processos reversíveis.

Passo 3

Calcular o número de mols n a partir da massa:
n=\frac{m}{M_{\mathrm{Ar}}}=\frac{21\\ \mathrm{g}}{39{,}948\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}.
Realizando a conta:
n\approx 0{,}5259\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Caso 1: expansão isotérmica irreversível contra p_{\mathrm{ex}}=0 (expansão livre).
  • Mesmo sendo irreversível, a variação de entropia do sistema é igual àquela de um caminho reversível entre os mesmos estados, portanto usamos
\Delta S_{\text{sys}}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Substituindo os valores (atenção às unidades: V pode ficar em \mathrm{dm}^{3} porque só aparece na razão),
\Delta S_{\text{sys}}=(0{,}5259)(8{,}314)\ln\!\left(\frac{4{,}60}{1{,}20}\right).
Calculemos passo a passo:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{4{,}60}{1{,}20}=3{,}8333\ldots, \qquad \ln\!\left(3{,}8333\right)\approx 1{,}3437.
nR\approx(0{,}5259)(8{,}314)\approx 4{,}373\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
\Delta S_{\text{sys}}\approx 4{,}373\times 1{,}3437\approx 5{,}88\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
  • Agora a variação de entropia do entorno: numa expansão livre contra p_{\mathrm{ex}}=0 o sistema não troca calor com o entorno ( q_{\text{sys}}=0), portanto
\Delta S_{\text{surr}}=0.
  • A variação total:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{sys}}+\Delta S_{\text{surr}}\approx 5{,}88+0=5{,}88\\ \mathrm{J\;K^{-1}}.
Isto faz sentido físico: processo irreversível com aumento de entropia do universo.

Passo 5

Caso (c): expansão adiabática reversível.
  • “Adiabática” significa que não há troca de calor: q_{\text{sys}}=0.
  • “Reversível” e adiabática implica que a variação de entropia do sistema é zero, porque
\Delta S_{\text{sys}}=\int\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=0
(se \delta Q_{\text{rev}}=0 em todo o processo).
  • Como q_{\text{sys}}=0, a vizinhança também não troca calor, então
\Delta S_{\text{surr}}=0.
  • Logo a variação total é
\Delta S_{\text{total}}=0+0=0.
Isto é consistente: processo adiabático reversível é isoentálpico (mais precisamente isentrópico).

Resposta

Isotérmico irreversível (expansão livre, p_{\mathrm{ex}}=0):
\Delta S_{\text{sys}}=5{,}88\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta S_{\text{surr}}=0\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta S_{\text{total}}=5{,}88\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
Adiabático reversível:
\Delta S_{\text{sys}}=0\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta S_{\text{surr}}=0\\ \mathrm{J\;K^{-1}}
\Delta S_{\text{total}}=0\\ \mathrm{J\;K^{-1}}

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