Calcule a 2022 a derivada das funções seguintes: k(x) = 1/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a 2022ª derivada da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas de ordens superiores e a regra do poder. Vamos precisar entender como derivar funções com potências negativas e identificar um padrão para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que facilite a derivação. A função pode ser escrita como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a regra do poder: se temos , então a primeira derivada é . Vamos aplicar essa regra várias vezes para encontrar as derivadas sucessivas.

Passo 4

Vamos calcular as primeiras derivadas para ver se aparece um padrão:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
Viu como os coeficientes estão alternando de sinal e aumentando de fatorial?

Passo 5

Identificamos um padrão geral: a -ésima derivada de é dada por:
onde é o fatorial de .

Resposta

Então, aplicando esse padrão para , temos:

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