Calcule o E a 298 K gerado pela célula abaixo quando \left[\mathrm{Cr}_{2} \mathrm{O}_{7}{ }^{2-}\right]=2,0 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1},\left[\mathrm{H}^{+}\right]=1,0 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e \left[\mathrm{Cr}^{3+}\right]=1,0 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. O E =+0,79 \mathrm{~V} e n =6.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial eletroquímico E da célula à temperatura de 298\\ \mathrm{K} com as seguintes concentrações:
[\mathrm{Cr}_{2}\mathrm{O}_{7}^{2-}] = 2{,}0\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\quad [\mathrm{H}^{+}] = 1{,}0\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},\quad [\mathrm{Cr}^{3+}] = 1{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Também foram fornecidos o potencial-padrão da meia-reação/reação da célula \;E^\circ = +0{,}79\\ \mathrm{V}\; e o número de elétrons trocados \;n = 6\;.
Isso é tudo o que a questão deu; agora vamos usar essas informações para calcular E.

Passo 2

Vamos usar a equação de Nernst para relacionar E, E^\circ e o quociente de reação Q. A forma prática em base decimal (na temperatura 298\\ \mathrm{K}) é:
E = E^\circ - \frac{0{,}05916}{n}\log_{10} Q.
Explicando cada termo:
E \text{: potencial da célula nas condições dadas (V)},\\\ E^\circ \text{: potencial padrão da célula (V)},\\\ n \text{: número de elétrons trocados na reação balanceada (adimensional)},\\\ Q \text{: quociente de reação (adimensional)},\\\ \frac{0{,}05916}{n} \text{: é o fator \(\dfrac{RT}{nF}\) convertido para logaritmo decimal a \(298\\ \mathrm{K}\)}.éçõãéúéçãçãé
Então precisamos montar Q a partir da reação balanceada e substituir os valores para obter E.

Passo 3

Escrevemos a meia-reação de redução do dicromato em meio ácido (a forma usual e balanceada):
\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7^{2-} + 14\\ \mathrm{H}^+ + 6\\ e^- \longrightarrow 2\\ \mathrm{Cr}^{3+} + 7\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}.
Note que aqui aparecem os coeficientes estequiométricos: 2 para \mathrm{Cr}^{3+}, 1 para \mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7^{2-} e 14 para \mathrm{H}^+. O problema já nos deu n=6, que é o número de elétrons mostrado na reação — consistente.

Passo 4

A partir da reação, o quociente de reação Q (sem considerar água líquida pura) é dado por:
Q = \frac{[\mathrm{Cr}^{3+}]^{2}}{[\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7^{2-}]\,[\mathrm{H}^+]^{14}}.
Explicação: cada espécie aquosa entra na expressão de Q elevada ao seu coeficiente estequiométrico (produtos no numerador, reagentes no denominador). A água líquida não aparece porque sua atividade é ~1.

Passo 5

Substituímos as concentrações numéricas fornecidas na expressão de Q.
[\mathrm{Cr}^{3+}]^{2} = \left(1{,}0\times 10^{-5}\right)^{2} = 1{,}0\times 10^{-10},
[\mathrm{Cr}_2\mathrm{O}_7^{2-}]\,[\mathrm{H}^+]^{14} = 2{,}0 \times (1{,}0)^{14} = 2{,}0.
Portanto
Q = \frac{1{,}0\times 10^{-10}}{2{,}0} = 5{,}0\times 10^{-11}.

Passo 6

Calculamos \log_{10} Q. Usando propriedades dos logaritmos:
\log_{10} Q = \log_{10}\left(5{,}0\times 10^{-11}\right) = \log_{10} 5{,}0 + \log_{10} 10^{-11}.
Sabemos que \log_{10} 5{,}0 \approx 0{,}69897 e \log_{10} 10^{-11} = -11. Assim
\log_{10} Q \approx 0{,}69897 - 11 = -10{,}30103.

Passo 7

Agora aplicamos a equação de Nernst. Primeiro o fator:
\frac{0{,}05916}{n} = \frac{0{,}05916}{6} \approx 0{,}00986\\ (\mathrm{V}).
Multiplicando pelo logaritmo:
\frac{0{,}05916}{6}\log_{10} Q \approx 0{,}00986 \times (-10{,}30103) \approx -0{,}1016\\ \mathrm{V}.
Finalmente:
E = E^\circ - \frac{0{,}05916}{6}\log_{10} Q = 0{,}79 - (-0{,}1016) = 0{,}79 + 0{,}1016 \approx 0{,}8916\\ \mathrm{V}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos) obtemos E \approx 0{,}892\\ \mathrm{V}.

Resposta

0,892\\ \mathrm{V}

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