Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a adjunta da matriz , denotada por , e, se possível, encontrar a inversa da matriz, . Essa é uma questão de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a adjunta de uma matriz e como calcular a inversa usando a adjunta e o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a adjunta de uma matriz. A adjunta de uma matriz , , é a matriz transposta de sua matriz de cofatores. Ou seja, para cada elemento de , calculamos o cofator correspondente, organizamos esses cofatores em uma matriz, e depois transpondo essa matriz, obtemos a adjunta.
A adjunta de adj(A) = C^T = 18 & 6 & 0 & 0 -6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 , , é a transposta da matriz de cofatores . Vamos transpor :
Passo 8
Agora, vamos verificar se a matriz A^-1 = 1det(A) adj(A) é invertível, ou seja, se o determinante de det(A) = det 2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6 é diferente de zero. Se for, podemos calcular a inversa usando a fórmula:
det(A) = 2 times 3 times 1 times 6 = 36
Vamos calcular o determinante de :
Como é uma matriz triangular (toda abaixo ou acima da diagonal principal é zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Como , a matriz é invertível.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular a inversa de A^-1 = 136 adj(A) = 136 18 & 6 & 0 & 0 -6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 usando a adjunta e o determinante: