Calcule o ângulo entre os planos dados pelas equações 2 x-3 y+z=5 e x+y-2 z=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois planos. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especialmente o conceito de vetores normais aos planos. Para isso, precisamos identificar os vetores normais de cada plano a partir das equações dadas e depois calcular o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos dois planos. A equação geral de um plano é dada por:
a x + b y + c z = d
Onde o vetor n = (a, b, c) é o vetor normal ao plano.

Passo 3

Para o primeiro plano, 2x - 3y + z = 5, o vetor normal é:
n1 = (2, -3, 1)
E para o segundo plano, x + y - 2z = 1, o vetor normal é:
n2 = (1, 1, -2)

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, precisamos calcular o ângulo entre os seus vetores normais. A fórmula para o ângulo θ entre dois vetores a e b é:
cos theta = a cdot b||a|| , ||b||
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • ||a|| e ||b|| são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (2)(1) + (-3)(1) + (1)(-2) = 2 - 3 - 2 = -3

Passo 6

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Para n1:
||n1|| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Para n2:
||n2|| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 7

Agora, aplicamos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = -3raiz14 times raiz6 = -3raiz84 = -32raiz21

Passo 8

Para encontrar o ângulo θ, usamos a função inversa do cosseno:
theta = cos^-1 ( -32raiz21 )
Calculando esse valor, obtemos aproximadamente:
theta approx 99,3^circ

Resposta

O ângulo entre os planos é aproximadamente 99,3 graus.

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