Calcule o ângulo entre os planos dados pelas equações
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois planos. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especialmente o conceito de vetores normais aos planos. Para isso, precisamos identificar os vetores normais de cada plano a partir das equações dadas e depois calcular o ângulo entre esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos dois planos. A equação geral de um plano é dada por:
Onde o vetor n =
é o vetor normal ao plano.
Passo 3
Para o primeiro plano,
, o vetor normal é:
E para o segundo plano,
, o vetor normal é:
Passo 4
Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, precisamos calcular o ângulo entre os seus vetores normais. A fórmula para o ângulo θ entre dois vetores
e
é:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, aplicamos os valores na fórmula do cosseno:
Passo 8
Para encontrar o ângulo θ, usamos a função inversa do cosseno:
Calculando esse valor, obtemos aproximadamente:
Resposta
O ângulo entre os planos é aproximadamente
graus.