Calcule a área da regiāo
Passo 1
O enunciado pede a área da região
definida por
Informações dadas que vamos usar:
-
é o disco fechado de centro e raio . -
é o complemento (fora ou na fronteira) do disco fechado de centro e raio . - Portanto
é o conjunto de pontos que estão dentro do disco centrado em e ao mesmo tempo fora (ou na borda) do disco centrado em . Geometricamente é a parte do disco superior que não pertence ao disco de centro na origem.
Passo 2
Vamos visualizar e entender melhor: temos dois discos congruentes de raio
com centros em
e
. A distância entre centros é
. Eles se interceptam formando uma lente simétrica. A região
é precisamente a parte do disco superior (centro
) que fica fora do disco na origem — ou seja, o disco superior menos a interseção dos dois discos. Em símbolos:
A área do disco de raio
é imediata:
.
Passo 3
Para calcular a área da interseção (a “lente”) vamos encontrar os pontos de interseção das duas circunferências (fronteiras). Resolver o sistema
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo em
:
Logo os pontos de interseção são
Passo 4
Esses pontos determinam a corda (segmento comum) das duas circunferências, que tem equação
. Agora, para cada círculo, essa corda subtende um ângulo central. Vamos calcular esse ângulo no círculo centrado na origem (o mesmo vale para o outro, por simetria).
A distância do centro até a corda é
. Num círculo de raio
, se a distância do centro à corda é
, então o ângulo metade
satisfaça
. Assim
A distância do centro
O ângulo central total correspondente à corda é
.
Passo 5
Vamos usar a decomposição padrão: a área do segmento circular (a parte do círculo cortada pela corda) é a área do setor circular de ângulo
menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.
Fórmulas que vamos usar (explico por que):
- Área de um setor de raio
e ângulo é . Aqui sobra da geometria: setor é fração do círculo de área , que simplifica para essa fórmula. - Área do triângulo isósceles com dois lados
e ângulo no centro é . Isso vem da fórmula da área aplicada aos dois lados com ângulo entre eles .
Aqui
e
. Logo:
- Área do setor é
- Área do triângulo é
Calculamos
. Então
Passo 6
A área do segmento em cada círculo (setor menos triângulo) é
A interseção dos dois discos consiste em dois segmentos idênticos (um pertencente a cada círculo), então a área da interseção é
Passo 7
Agora voltamos ao objetivo: a área de
é a área do disco centrado em
menos a área da interseção. A área do disco é
. Portanto
Fazendo as contas:
Passo 8
Pequeno teste numérico (só para intuição):
e
, somando dá cerca de
. Faz sentido: é menos que a área total do disco (
) e parece razoável para a “capinha” do disco superior que fica fora do outro.