Calcule a área da regiāo R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2} \geq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede a área da região R definida por
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+(y-1)^{2}\le 1,\; x^{2}+y^{2}\ge 1\}.
Informações dadas que vamos usar:
  1. x^{2}+(y-1)^{2}\le 1 é o disco fechado de centro (0,1) e raio 1.
  2. x^{2}+y^{2}\ge 1 é o complemento (fora ou na fronteira) do disco fechado de centro (0,0) e raio 1.
  3. Portanto R é o conjunto de pontos que estão dentro do disco centrado em (0,1) e ao mesmo tempo fora (ou na borda) do disco centrado em (0,0). Geometricamente é a parte do disco superior que não pertence ao disco de centro na origem.

Passo 2

Vamos visualizar e entender melhor: temos dois discos congruentes de raio 1 com centros em (0,0) e (0,1). A distância entre centros é 1. Eles se interceptam formando uma lente simétrica. A região R é precisamente a parte do disco superior (centro (0,1)) que fica fora do disco na origem — ou seja, o disco superior menos a interseção dos dois discos. Em símbolos:
\text{Área}(R)=\text{Área}\big(\text{disco de centro }(0,1)\big)-\text{Área}\big(\text{interseção dos dois discos}\big).ÁÁÁçã
A área do disco de raio 1 é imediata: \pi.

Passo 3

Para calcular a área da interseção (a “lente”) vamos encontrar os pontos de interseção das duas circunferências (fronteiras). Resolver o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=1,\\[4pt] x^{2}+(y-1)^{2}=1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
x^{2}+y^{2}-\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr)=0
y^{2}-(y-1)^{2}=0
y^{2}-(y^{2}-2y+1)=0 \Rightarrow 2y-1=0 \Rightarrow y=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=1:
x^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Logo os pontos de interseção são
\left(\pm \tfrac{\sqrt{3}}{2},\; \tfrac{1}{2}\right).]

Passo 4

Esses pontos determinam a corda (segmento comum) das duas circunferências, que tem equação y=\tfrac{1}{2}. Agora, para cada círculo, essa corda subtende um ângulo central. Vamos calcular esse ângulo no círculo centrado na origem (o mesmo vale para o outro, por simetria).
A distância do centro (0,0) até a corda é \tfrac{1}{2}. Num círculo de raio 1, se a distância do centro à corda é d=\tfrac{1}{2}, então o ângulo metade \theta satisfaça \cos\theta = d/r = \tfrac{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}. Assim
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3}.
O ângulo central total correspondente à corda é 2\theta = \tfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Vamos usar a decomposição padrão: a área do segmento circular (a parte do círculo cortada pela corda) é a área do setor circular de ângulo 2\theta menos a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda.
Fórmulas que vamos usar (explico por que):
  • Área de um setor de raio r e ângulo \alpha é \dfrac{r^{2}\alpha}{2}. Aqui sobra da geometria: setor é fração \alpha/(2\pi) do círculo de área \pi r^{2}, que simplifica para essa fórmula.
  • Área do triângulo isósceles com dois lados r e ângulo no centro 2\theta é \dfrac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta). Isso vem da fórmula da área \tfrac{1}{2}ab\sin\gamma aplicada aos dois lados r,r com ângulo entre eles 2\theta.
Aqui r=1 e 2\theta=\tfrac{2\pi}{3}. Logo:
  • Área do setor é
\frac{r^{2}(2\theta)}{2}=\frac{1\cdot(2\pi/3)}{2}=\frac{\pi}{3}.
  • Área do triângulo é
\frac{1}{2}r^{2}\sin(2\theta)=\frac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right).
Calculamos \sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\sin\!\left(120^\circ\right)=\sin\!\left(60^\circ\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\frac{1}{2}\sin\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 6

A área do segmento em cada círculo (setor menos triângulo) é
\text{segmento}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}.
A interseção dos dois discos consiste em dois segmentos idênticos (um pertencente a cada círculo), então a área da interseção é
\text{interseção}=2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.çã

Passo 7

Agora voltamos ao objetivo: a área de R é a área do disco centrado em (0,1) menos a área da interseção. A área do disco é \pi. Portanto
\text{Área}(R)=\pi-\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).Á
Fazendo as contas:
\text{Área}(R)=\pi-\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.Á

Passo 8

Pequeno teste numérico (só para intuição): \dfrac{\pi}{3}\approx 1,0472 e \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660, somando dá cerca de 1,9132. Faz sentido: é menos que a área total do disco ( \pi\approx 3,1416) e parece razoável para a “capinha” do disco superior que fica fora do outro.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}