Calcule a área da região limitada, definida pelas seguintes curvas:
y=\operatorname{sen} x e y=x^{2}-\pi x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = \sin x
e
y = x^{2} - \pi x.
O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que fazemos com um integral definido da diferença (função superior menos função inferior) entre os pontos de interseção.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
\sin x = x^{2} - \pi x.
Note que em x=0 temos \sin0=0 e 0^{2}-\pi\cdot0=0, e em x=\pi temos \sin\pi=0 e \pi^{2}-\pi\cdot\pi=0. Logo, as interseções são x=0 e x=\pi.

Passo 3

Determinar qual curva fica acima em [0,\pi]. Para x\in[0,\pi] vale \sin x\ge0 e
x^{2}-\pi x = x(x-\pi)\le0,
logo \sin x\ge x^{2}-\pi x. Assim a região fica entre \sin x (superior) e x^{2}-\pi x (inferior).

Passo 4

O integral que dá a área é
A = \int_{0}^{\pi}\bigl(\sin x - (x^{2}-\pi x)\bigr)\,dx.

Passo 5

Dividindo em parcelas:
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = 2,
\int_{0}^{\pi}x^{2}\,dx = \frac{\pi^{3}}{3},
\int_{0}^{\pi}\pi x\,dx = \pi\cdot\frac{\pi^{2}}{2} = \frac{\pi^{3}}{2}.

Passo 6

Juntando tudo:
A = 2 \;-\;\frac{\pi^{3}}{3}\;+\;\frac{\pi^{3}}{2} = 2 + \pi^{3}\Bigl(\frac12 - \frac13\Bigr) = 2 + \frac{\pi^{3}}{6}.

Resposta

A = 2 + \frac{\pi^{3}}{6}.

Exercícios relacionados