Calcule a área das regiões R dadas. R = {(x, y) em R^2 : 0 <= x <= pi, -sen x <= y <= 0}

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região no plano cartesiano definida por:
Nossa missão é calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a encontrar áreas de regiões delimitadas por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O valor de varia de a . Para cada valor de nesse intervalo, o valor de varia de até . Isso significa que a região está abaixo do eixo e limitada pela curva .

Passo 3

Para encontrar a área, vamos configurar uma integral dupla onde integramos de até e de a . A fórmula para a área fica assim:
A integração interna em relação a nos dará a largura vertical da região para cada .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Então, a área agora é:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de de a :

Resposta

A área das regiões é igual a .

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