Calcule a área sob a curva f(x) = e^(arctan(x)) / (1 + x^2) no intervalo de [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área sob a curva da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. Calcular a área sob uma curva entre dois pontos é o mesmo que calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. Então, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma estratégia para resolver essa integral. Observando a função, percebemos que o denominador é a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar . Sabemos que:
Perceba que aparece exatamente na nossa integral! Isso simplifica muito as coisas.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Integrar em relação a é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original substituindo :
Como estamos trabalhando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de a :

Passo 7

Vamos calcular e :
Substituindo na expressão:

Resposta

A área sob a curva no intervalo de é:

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