Calcule a área da superfície
parte do plano
, interior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte de um plano dado pela equação
, mas essa parte específica está dentro de um cilindro definido por
. Então, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um plano inclinado no espaço e um cilindro vertical. Queremos encontrar a área da parte do plano que está “dentro” do cilindro. Para isso, vamos projetar essa área no plano
e calcular a integral dupla que representa a área.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação do plano:
Isso facilita porque agora podemos expressar
em termos de
e
, o que é útil para calcular a área da superfície.
Passo 4
A fórmula para calcular a área de uma superfície
é:
Aqui,
é a região de projeção no plano
, que, no nosso caso, é o interior do cilindro
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula da área:
Isso significa que a expressão dentro da integral é constante, igual a
.
Passo 6
Agora, a área da superfície é:
A integral dupla
representa simplesmente a área da região
, que é o círculo de raio 5 (já que
).
Passo 7
A área de um círculo é dada por
. Aqui,
, então:
Passo 8
Finalmente, multiplicando pela constante
:
Resposta
A área da superfície
é
unidades de área.