Calcule a área da superfície S parte do plano x + y + z = 5, interior ao cilindro x^2 + y^2 = 25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte de um plano dado pela equação , mas essa parte específica está dentro de um cilindro definido por . Então, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um plano inclinado no espaço e um cilindro vertical. Queremos encontrar a área da parte do plano que está “dentro” do cilindro. Para isso, vamos projetar essa área no plano e calcular a integral dupla que representa a área.

Passo 3

Vamos começar isolando na equação do plano:
Isso facilita porque agora podemos expressar em termos de e , o que é útil para calcular a área da superfície.

Passo 4

A fórmula para calcular a área de uma superfície é:
Á
Aqui, é a região de projeção no plano , que, no nosso caso, é o interior do cilindro .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo na fórmula da área:
Isso significa que a expressão dentro da integral é constante, igual a .

Passo 6

Agora, a área da superfície é:
Á
A integral dupla representa simplesmente a área da região , que é o círculo de raio 5 (já que ).

Passo 7

A área de um círculo é dada por . Aqui, , então:

Passo 8

Finalmente, multiplicando pela constante :
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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