Calcule beta e kappa para um gás que obedece à lei de van der Waals,
(P+av^2)(v-b)=R T

Passo 1

A questão pede para calcular o coeficiente de expansão térmica (β) e a compressibilidade isotérmica (κ) para um gás que obedece à equação de van der Waals. O conteúdo envolve diferencial implícita de uma equação de estado não ideal e as definições termodinâmicas de β e κ.

Passo 2

O coeficiente de expansão térmica e a compressibilidade isotérmica são definidos como
beta=1vl(tfracpartial vpartial Tr)P,
kappa=-1vl(tfracpartial vpartial Pr)T
Vamos precisar aplicar diferenciação implícita na equação de van der Waals.

Passo 3

Partimos da equação de van der Waals
l(P+tfracav^2r)(v-b)=RT
Diferenciando implicitamente em relação a T, mantendo P fixo, temos
l(P+tfracav^2r),tfracpartial vpartial T+ (v-b)l(-2a/v^3r),tfracpartial vpartial T=R
ou seja,
l(P+tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3r),l(tfracpartial vpartial Tr)P=R
Assim,
l(tfracpartial vpartial Tr)P=RP+tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3

Passo 4

Substituindo em beta=tfrac1v(partial v/partial T)P, obtemos
beta=1v;RP+tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3= racRvl(P + tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3r)

Passo 5

Agora diferenciamos a equação de van der Waals em relação a P, mantendo T fixo:
(v-b)+l(P+tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3r),l(tfracpartial vpartial Pr)T=0
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l(tfracpartial vpartial Pr)T=-v-bP+tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3

Passo 6

Substituindo em kappa=-tfrac1v(partial v/partial P)T, obtemos
kappa=v-bvl(P + tfracav^2 - tfrac2a(v-b)v^3r)

Resposta

As expressões finais são
beta=Rvl(P+tfracav^2-tfrac2a(v-b)v^3r)
kappa=v-bvl(P+tfracav^2-tfrac2a(v-b)v^3r)

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