Um mol de um gás obedece à equação de van der Waals,
(P+av^2)(v-b)=R T
e sua energia interna molar é dada por
u=c T-av,
onde a, b, c e T são constantes. Calcule as capacidades caloríficas molares cV e cP. Resp.:
cV=c e cP=c+R^2 Tv-b v^3P v^3-a v+2 a b

Passo 1

O enunciado diz que para um mol de gás de van der Waals temos a equação de estado $ (P + a/v^2)(v - b) = RT $ e energia interna molar $ u = cT - \frac{a}{v} $. O conteúdo aqui é termodinâmica (capacidades caloríficas), e vamos precisar usar definições como $ c_V = \bigl(\partial u/\partial T\bigr)_v $, a entalpia molar $ h = u + Pv $ e relações de diferenciação sob pressão constante.

Passo 2

Para encontrar cV, basta calcular a derivada parcial de u em relação a T mantido v fixo. Como $ u = cT - \tfrac{a}{v} $, temos $ \bigl(\partial u/\partial T\bigr)_v = c $. Logo, $ c_V = c $.

Passo 3

Definimos a entalpia molar como $ h = u + Pv $. Usando a equação de van der Waals, h = u + Pv temos P = RTv - b - av^2,

Passo 4

Para cP usamos a relação termodinâmica geral cP = l(partial hpartial Tr)P = l(partial hpartial Tr)v + l(partial hpartial vr)T l(partial vpartial Tr)P Precisamos então de $ (\partial v/\partial T)_P $, que vem de $ dP = 0 = (\partial P/\partial T)_v dT + (\partial P/\partial v)_T dv. $

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais de P: l(partial Ppartial Tr)v = Rv - b, l(partial Ppartial vr)T = -RT(v - b)^2 + 2av^3 Assim, l(partial vpartial Tr)P = -R/(v - b)-RT/(v - b)^2 + 2av^3 = R(v - b)RT - 2a(v - b)^2v^3

Passo 6

Agora calculamos as derivadas de h: l(partial hpartial Tr)v = c + Rvv - b, l(partial hpartial vr)T = R T(v - b) - v(v - b)^2 + 2av^2 = -RT,b(v - b)^2 + 2av^2 Substituindo tudo em cP e fazendo as simplificações algébricas chega-se a cP = c + R^2Tv - bv^3Pv^3 - av + 2ab

Passo 7

Portanto, as capacidades caloríficas molares são dadas por: $ c_V = c $ e $ c_P = c + \frac{R^2T}{v - b}\frac{v3}{Pv3 - av + 2ab}. $

Resposta

c_V = c e c_P = c + \frac{R^2 T}{v - b} \frac{v^3}{P v^3 - a v + 2 a b}

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