Um mol de um gás obedece à equação de van der Waals,
e sua energia interna molar é dada por
onde
e
são constantes. Calcule as capacidades caloríficas molares
e
. Resp.:
Passo 1
O enunciado diz que para um mol de gás de van der Waals temos a equação de estado $ (P + a/v^2)(v - b) = RT $ e energia interna molar $ u = cT - \frac{a}{v} $. O conteúdo aqui é termodinâmica (capacidades caloríficas), e vamos precisar usar definições como $ c_V = \bigl(\partial u/\partial T\bigr)_v $, a entalpia molar $ h = u + Pv $ e relações de diferenciação sob pressão constante.
Passo 2
Para encontrar
, basta calcular a derivada parcial de
em relação a
mantido
fixo. Como $ u = cT - \tfrac{a}{v} $, temos $ \bigl(\partial u/\partial T\bigr)_v = c $. Logo, $ c_V = c $.
Passo 3
Definimos a entalpia molar como $ h = u + Pv $. Usando a equação de van der Waals,
temos
Passo 4
Para
usamos a relação termodinâmica geral
Precisamos então de $ (\partial v/\partial T)_P $, que vem de $ dP = 0 = (\partial P/\partial T)_v dT + (\partial P/\partial v)_T dv. $
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais de
:
Assim,
Passo 6
Agora calculamos as derivadas de
:
Substituindo tudo em
e fazendo as simplificações algébricas chega-se a
Passo 7
Portanto, as capacidades caloríficas molares são dadas por: $ c_V = c $ e $ c_P = c + \frac{R^2T}{v - b}\frac{v3}{Pv3 - av + 2ab}. $
Resposta
c_V = c e c_P = c + \frac{R^2 T}{v - b} \frac{v^3}{P v^3 - a v + 2 a b}