Calcule cada um dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}-1}{x^{2}+8}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da função racional abaixo:
\lim_{x\to 0}\frac{2x^{2}-1}{x^{2}+8}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma razão de duas expressões polinomiais: numerador 2x^{2}-1 e denominador x^{2}+8.
  • O ponto onde se avalia o limite é x=0.
  • É preciso verificar se o denominador não anula em x=0 antes de tentar substituir.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma simples): polinômios são funções contínuas em todo ponto real. Isso significa que, se p(x) é um polinômio, vale
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Para uma função racional \dfrac{f(x)}{g(x)}, com f e g polinômios, a propriedade de limite que usamos é:
\text{se } \lim_{x\to a} f(x)=L_f,\\ \lim_{x\to a} g(x)=L_g \text{ e } L_g\neq 0,\text{ então } \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_f}{L_g}.ã
Aqui, f(x)=2x^{2}-1 e g(x)=x^{2}+8. A estratégia prática na prova: calcular \lim_{x\to 0} f(x) e \lim_{x\to 0} g(x) por substituição direta (por continuidade) e verificar que o limite do denominador não é zero; então dividir os resultados.

Passo 3

Calcular o limite do numerador por continuidade (substituição direta):
\lim_{x\to 0}(2x^{2}-1)=2\cdot 0^{2}-1=-1.
Aqui usei apenas a definição de substituição em polinômio: substituir x=0.

Passo 4

Calcular o limite do denominador por continuidade (substituição direta) e verificar que não é zero:
\lim_{x\to 0}(x^{2}+8)=0^{2}+8=8\neq 0.
Como o limite do denominador é 8, a condição L_g\neq 0 da regra do quociente está satisfeita.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente de limites (Passo 2) com L_f=-1 e L_g=8, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{2x^{2}-1}{x^{2}+8}=\frac{-1}{8}=-\frac{1}{8}.

Resposta

-\frac{1}{8}