Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o campo vetorial gradiente da função potencial escalar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Implícito: o domínio natural desta função exige
e (não faz sentido dividir por zero). - O que se quer: o gradiente
, que é um vetor com as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (explicação didática):
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor que reúne as derivadas parciais de . Em notação:
- Derivada parcial em
: diferencia em relação a mantendo constante. Derivada parcial em : diferencia mantendo constante. - Para
é conveniente reescrever a função como potência:
- Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se
é uma função e , então
Aqui
e
.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo:
- Começando de
, apliquei a regra da potência com :
- Agora calculo
. Como é tratado como constante quando derivamos em relação a ,
- Substituindo:
- Simplifico a fração:
, então
pois um
cancela no numerador e denominador.
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
- Pelo mesmo raciocínio, derivando em relação a
(agora é constante):
- Calculando
. - Substituindo:
- Simplificando
:
Passo 5
Montagem do gradiente e observações finais:
- Reunindo as derivadas parciais, o gradiente é
- Lembrar: essa expressão vale apenas para
e . - Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em
,