Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(b) \varphi(x, y)=\frac{1}{x y} .

Passo 1

O enunciado pede: calcular o campo vetorial gradiente da função potencial escalar \varphi(x,y)=\dfrac{1}{x y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \varphi(x,y)=\dfrac{1}{x y}.
  • Implícito: o domínio natural desta função exige x\neq 0 e y\neq 0 (não faz sentido dividir por zero).
  • O que se quer: o gradiente \nabla\varphi(x,y), que é um vetor com as derivadas parciais de \varphi em relação a x e y.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (explicação didática):
  • O gradiente de uma função escalar \varphi(x,y) é o vetor que reúne as derivadas parciais de \varphi. Em notação:
\nabla\varphi(x,y)=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\;\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right).
  • Derivada parcial em x: diferencia \varphi em relação a x mantendo y constante. Derivada parcial em y: diferencia mantendo x constante.
  • Para \varphi(x,y)=\dfrac{1}{xy} é conveniente reescrever a função como potência:
\varphi(x,y)=(xy)^{-1}.
  • Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se u(x,y) é uma função e \psi(u)=u^{n}, então
\frac{\partial}{\partial x}\psi(u)=n\,u^{\,n-1}\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=xy e n=-1.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} passo a passo:
  • Começando de \varphi(x,y)=(xy)^{-1}, apliquei a regra da potência com n=-1:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = -1\cdot (xy)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy).
  • Agora calculo \dfrac{\partial}{\partial x}(xy). Como y é tratado como constante quando derivamos em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y.
  • Substituindo:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = - (xy)^{-2}\cdot y = -\frac{y}{(xy)^{2}}.
  • Simplifico a fração: (xy)^{2}=x^{2}y^{2}, então
\frac{\partial\varphi}{\partial x} = -\frac{y}{x^{2}y^{2}} = -\frac{1}{x^{2}y},
pois um y cancela no numerador e denominador.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} passo a passo:
  • Pelo mesmo raciocínio, derivando em relação a y (agora x é constante):
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = -1\cdot (xy)^{-2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy).
  • Calculando \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x.
  • Substituindo:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = - (xy)^{-2}\cdot x = -\frac{x}{(xy)^{2}}.
  • Simplificando (xy)^{2}=x^{2}y^{2}:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = -\frac{x}{x^{2}y^{2}} = -\frac{1}{x y^{2}}.

Passo 5

Montagem do gradiente e observações finais:
  • Reunindo as derivadas parciais, o gradiente é
\nabla\varphi(x,y)=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)=\left(-\frac{1}{x^{2}y},\,-\frac{1}{x y^{2}}\right).
  • Lembrar: essa expressão vale apenas para x\neq 0 e y\neq 0.
  • Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: em (x,y)=(1,2),
\nabla\varphi(1,2)=\left(-\frac{1}{1^{2}\cdot 2},\,-\frac{1}{1\cdot 2^{2}}\right)=\left(-\frac{1}{2},\,-\frac{1}{4}\right).

Resposta

\nabla\varphi(x,y)=\left(-\frac{1}{x^{2}y},\,-\frac{1}{x y^{2}}\right)