Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(c) \Phi(x, y, z)=x+y+z .

Passo 1

O enunciado dá a função escalar potencial \Phi(x,y,z)=x+y+z e pede explicitamente o campo vetorial gradiente dessa função.
Informações relevantes que temos:
  • A função é \Phi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por \Phi(x,y,z)=x+y+z.
  • A tarefa é calcular o campo vetorial \nabla\Phi (o gradiente) associado a \Phi.

Passo 2

O que é o gradiente e como ele é escrito (fórmula que vamos usar).
O gradiente de uma função escalar \Phi(x,y,z) é um campo vetorial que reúne as derivadas parciais de \Phi em cada direção coordenada. Em forma padrão:
\nabla\Phi(x,y,z)=\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x},\frac{\partial\Phi}{\partial y},\frac{\partial\Phi}{\partial z}\right).
Explicação didática: cada componente do vetor gradiente é a taxa de variação de \Phi quando se varia só uma das variáveis (as outras permanecem fixas). Assim a componente em x mede quanto \Phi muda por unidade de x mantendo y e z constantes, e assim por diante.

Passo 3

O que é derivada parcial (relembrando passo a passo).
  • A derivada parcial de \Phi em relação a x, denotada \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}, é o limite
\frac{\partial\Phi}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{\Phi(x+h,y,z)-\Phi(x,y,z)}{h},
ou seja, varia-se apenas x e observa-se a razão de variação de \Phi.
  • Mesma ideia para \dfrac{\partial\Phi}{\partial y} e \dfrac{\partial\Phi}{\partial z}.

Passo 4

Aplicando a definição às funções lineares simples.
Para funções lineares do tipo x, y, z é muito direto calcular as derivadas parciais, porque:
  • Se \Phi(x,y,z)=x, então \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=1 e as derivadas parciais em relação às outras variáveis são zero (pois \Phi não depende delas).
  • O mesmo raciocínio vale para \Phi=y e \Phi=z.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais da nossa \Phi componente a componente (fazendo devagar, como na prova).
Usamos que \Phi(x,y,z)=x+y+z, que é soma de três termos que dependem cada um de uma variável distinta. Então:
Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial x}(y)+\frac{\partial}{\partial x}(z).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1, \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 (porque y é tratado como constante) e \dfrac{\partial}{\partial x}(z)=0. Logo
\frac{\partial\Phi}{\partial x}(x,y,z)=1+0+0=1.
Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}(x+y+z)=0+1+0=1.
Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial z}:
\frac{\partial\Phi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}(x+y+z)=0+0+1=1.
Observação prática para prova: para funções que são soma de termos simples, calcule cada derivada parcial olhando só para o termo que depende da variável em questão — os outros entram como zero.

Passo 6

Interpretação rápida (ajuda a fixar):
  • As três derivadas parciais deram constante 1. Isso significa que a função aumenta igualmente se mover em qualquer direção coordenada positiva; a taxa de aumento por unidade em x, y ou z é 1.
  • Geometricamente, \nabla\Phi é um vetor constante em todo \mathbb{R}^3, apontando na direção (1,1,1). Em problemas, reconhecer funções lineares facilita muito: o gradiente de ax+by+cz é (a,b,c).

Resposta

\nabla\Phi(x,y,z)=(1,1,1)