Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função escalar potencial
e pede explicitamente o campo vetorial gradiente dessa função.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é
definida por . - A tarefa é calcular o campo vetorial
(o gradiente) associado a .
Passo 2
O que é o gradiente e como ele é escrito (fórmula que vamos usar).
O gradiente de uma função escalar é um campo vetorial que reúne as derivadas parciais de
em cada direção coordenada. Em forma padrão:
O gradiente de uma função escalar
Explicação didática: cada componente do vetor gradiente é a taxa de variação de
quando se varia só uma das variáveis (as outras permanecem fixas). Assim a componente em
mede quanto
muda por unidade de
mantendo
e
constantes, e assim por diante.
Passo 3
O que é derivada parcial (relembrando passo a passo).
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , é o limite
ou seja, varia-se apenas
e observa-se a razão de variação de
.
- Mesma ideia para
e .
Passo 4
Aplicando a definição às funções lineares simples.
Para funções lineares do tipo ,
,
é muito direto calcular as derivadas parciais, porque:
Para funções lineares do tipo
- Se
, então e as derivadas parciais em relação às outras variáveis são zero (pois não depende delas). - O mesmo raciocínio vale para
e .
Passo 5
Calcular as derivadas parciais da nossa
componente a componente (fazendo devagar, como na prova).
Usamos que , que é soma de três termos que dependem cada um de uma variável distinta. Então:
Usamos que
Cálculo de
:
Aqui
,
(porque
é tratado como constante) e
. Logo
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Observação prática para prova: para funções que são soma de termos simples, calcule cada derivada parcial olhando só para o termo que depende da variável em questão — os outros entram como zero.
Passo 6
Interpretação rápida (ajuda a fixar):
- As três derivadas parciais deram constante
. Isso significa que a função aumenta igualmente se mover em qualquer direção coordenada positiva; a taxa de aumento por unidade em , ou é . - Geometricamente,
é um vetor constante em todo , apontando na direção . Em problemas, reconhecer funções lineares facilita muito: o gradiente de é .