Calcule, caso exista, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a
n \operatorname{tg}\left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n,
onde
\displaystyle a_n = n\,\tan\!\bigl(\tfrac1n\bigr).
O conteúdo aqui é análise de limite de sequência usando o limite fundamental
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.

Passo 2

Note que, para n grande, \tfrac1n\to0. Podemos reescrever
a_n = n\,\tan\!\bigl(\tfrac1n\bigr) = \frac{\tan\!\bigl(\tfrac1n\bigr)}{\tfrac1n}\,.

Passo 3

Como \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1, basta tomar x=\tfrac1n e n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\!\bigl(\tfrac1n\bigr)}{\tfrac1n} =1.

Resposta

\,1.

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