Calcule caso exista, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a
8-\left(\frac{7}{8}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede calcular, se existir, \lim_{n\to\infty} a_n, onde a sequência (a_n) é dada por
a_n = 8 - \left(\frac{7}{8}\right)^n.
Pergunta clara: qual é o valor (se existir) de \lim_{n\to\infty} a_n?
Informações relevantes do enunciado:
  • A sequência é formada por uma constante 8 menos uma potência \left(\dfrac{7}{8}\right)^n.
  • A base da potência é \dfrac{7}{8}, que é um número positivo menor que 1.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade essencial sobre potências com expoente que cresce: se r é um número real tal que |r|<1, então
\lim_{n\to\infty} r^n = 0.
Explicando essa propriedade de forma intuitiva e leve: multiplicar repetidamente por um número cuja magnitude é menor que 1 faz o resultado ficar cada vez menor, tendendo a zero. Por exemplo, 0{,}9^n vai se aproximando de 0 conforme n cresce.

Passo 3

Uma justificativa simples e direta usando logaritmos (opcional, mas curto): se 0<r<1 então \ln r<0. Escrevendo r^n = e^{n\ln r}, o expoente n\ln r \to -\infty quando n\to\infty, portanto r^n = e^{n\ln r}\to 0. Assim fica claro por que r^n\to0.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: a base é r=\dfrac{7}{8}. Observamos que
0<\frac{7}{8}<1,
logo, pela propriedade, temos
\lim_{n\to\infty} \left(\frac{7}{8}\right)^n = 0.

Passo 5

Usamos também a regra de limites que diz que, se \lim_{n\to\infty} x_n = L e c é constante, então \lim_{n\to\infty} (c - x_n) = c - L. Aqui c=8 e x_n=\left(\dfrac{7}{8}\right)^n com limite 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}\left(8 - \left(\frac{7}{8}\right)^n\right) = 8 - 0 = 8.

Resposta

8