Calcule caso exista,
, sendo
igual a
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da sequência
As informações que temos são: a sequência explícita
e que
tende a infinito (sequência indexada por inteiros). A pergunta é determinar, se existir,
.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade simples e muito útil sobre a função cosseno: para todo número real
vale
Ao elevar ao quadrado essa desigualdade, obtemos que para todo
Aqui usamos essa propriedade com
(cada termo
é um número real), logo
Passo 3
Dividindo a desigualdade do passo anterior por
(note que
é sempre positivo), obtemos uma desigualdade que envolve
:
Ou seja,
Passo 4
Agora avaliamos o limite da sequência superior
. Esta é uma progressão geométrica com razão
, com
. Uma propriedade básica é
Aplicando com
obtemos
Passo 5
Usamos o Teorema do Aperto (teorema do sanduíche / squeeze theorem): se para toda
vale
e
e
, então
. No nosso caso
e vimos que
. Portanto