Calcule caso exista, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}, sendo a_{n} igual a
\frac{\cos ^{2} n}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n\to\infty da sequência
a_{n}=\frac{\cos^{2} n}{3^{n}}.
As informações que temos são: a sequência explícita a_{n} e que n tende a infinito (sequência indexada por inteiros). A pergunta é determinar, se existir, \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade simples e muito útil sobre a função cosseno: para todo número real x vale
-1 \le \cos x \le 1.
Ao elevar ao quadrado essa desigualdade, obtemos que para todo x
0 \le \cos^{2} x \le 1.
Aqui usamos essa propriedade com x=n (cada termo n é um número real), logo
0 \le \cos^{2} n \le 1 \quad\text{para todo } n.

Passo 3

Dividindo a desigualdade do passo anterior por 3^{n}>0 (note que 3^{n} é sempre positivo), obtemos uma desigualdade que envolve a_{n}:
0 \le \frac{\cos^{2} n}{3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}.
Ou seja,
0 \le a_{n} \le \frac{1}{3^{n}}\quad\text{para todo } n.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da sequência superior \dfrac{1}{3^{n}}. Esta é uma progressão geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}, com |r|<1. Uma propriedade básica é
\lim_{n\to\infty} r^{n}=0 \quad\text{quando } |r|<1.
Aplicando com r=\dfrac{1}{3} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n}}=0.

Passo 5

Usamos o Teorema do Aperto (teorema do sanduíche / squeeze theorem): se para toda n vale
0 \le a_{n} \le b_{n}
e \lim_{n\to\infty}0=0 e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, então \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. No nosso caso b_{n}=\dfrac{1}{3^{n}} e vimos que \lim_{n\to\infty}b_{n}=0. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

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