Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral
abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para calcular, se existir, o limite
.
Informações relevantes:
- A fórmula do termo geral é
. - Queremos o limite quando
cresce sem limite: . - Observação útil: para
e os termos são e respectivamente, mas o comportamento no infinito não é afetado por um número finito de termos iniciais. Para a base é positiva, então os termos são positivos a partir de .
Passo 2
Estratégia (agora sim vamos resolver): uma técnica clássica para sequências da forma
é passar ao logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial (porque a função exponencial é contínua). Aqui vamos fazer isso: calcular
e obter o limite.
Calculemos o logaritmo:
Passo 3
Agora precisamos avaliar o limite de
quando
.
Para manipular mais facilmente, faça a mudança de variável
. Quando
temos
. Em termos de
,
Logo queremos
Passo 4
Avaliação da forma
.
A expressão tem a forma
quando
, então podemos usar o Teorema de L’Hôpital (ou reconhecer a expansão de Taylor). Aplicando L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
,
Portanto
Também se preferir uma justificativa mais elemental: usar que
. Neste caso ponha
e obtemos
.
Portanto chegamos a
Passo 5
Converter de volta do logaritmo para a sequência original.
Se
e
é contínua, então
. Aplicando isso com
,
Passo 6
Comentário didático curto para fixar: este resultado é a versão particular da fórmula geral
aqui com
. Um cheque numérico rápido:
e, por exemplo,
é aproximadamente
, bem próximo de
, o que confere a ideia.