Calcule, caso exista, o limite das sequências de termo geral a_{n} abaixo:
\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} e pede para calcular, se existir, o limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Informações relevantes:
  • A fórmula do termo geral é \displaystyle a_{n}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}.
  • Queremos o limite quando n cresce sem limite: n\to\infty.
  • Observação útil: para n=1 e n=2 os termos são -1 e 0 respectivamente, mas o comportamento no infinito não é afetado por um número finito de termos iniciais. Para n\ge3 a base \displaystyle 1-\frac{2}{n} é positiva, então os termos são positivos a partir de n=3.

Passo 2

Estratégia (agora sim vamos resolver): uma técnica clássica para sequências da forma \left(1+\frac{c}{n}\right)^{n} é passar ao logaritmo natural para transformar potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial (porque a função exponencial é contínua). Aqui vamos fazer isso: calcular \displaystyle \ln(a_n) e obter o limite.
Calculemos o logaritmo:
\ln(a_n)=\ln\!\left(\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right).

Passo 3

Agora precisamos avaliar o limite de \displaystyle n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right) quando n\to\infty.
Para manipular mais facilmente, faça a mudança de variável x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty temos x\to0^+. Em termos de x,
n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{\ln(1-2x)}{x}.
Logo queremos
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1-\frac{2}{n}\right)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1-2x)}{x}.

Passo 4

Avaliação da forma \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{x}.
A expressão tem a forma \frac{0}{0} quando x\to0, então podemos usar o Teorema de L’Hôpital (ou reconhecer a expansão de Taylor). Aplicando L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x,
\text{numerador}'=\frac{d}{dx}\ln(1-2x)=\frac{-2}{1-2x},\qquad \text{denominador}'=\frac{d}{dx}x=1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{-2}{1-2x}=\frac{-2}{1}= -2.
Também se preferir uma justificativa mais elemental: usar que \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Neste caso ponha u=-2x e obtemos \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{x}= \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot(-2) = -2.
Portanto chegamos a
\lim_{n\to\infty} \ln(a_n) = -2.

Passo 5

Converter de volta do logaritmo para a sequência original.
Se \displaystyle \ln(a_n)\to L e e^{t} é contínua, então \displaystyle a_n=\exp(\ln(a_n))\to \exp(L). Aplicando isso com L=-2,
\lim_{n\to\infty} a_n = \exp(-2)=e^{-2}.

Passo 6

Comentário didático curto para fixar: este resultado é a versão particular da fórmula geral
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{c}{n}\right)^{n}=e^{c},
aqui com c=-2. Um cheque numérico rápido: \displaystyle e^{-2}\approx 0{,}135335 e, por exemplo, \left(1-\dfrac{2}{100}\right)^{100}=0{,}98^{100} é aproximadamente 0{,}133, bem próximo de e^{-2}, o que confere a ideia.

Resposta

\displaystyle e^{-2}