Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow \frac{5}{2}} \frac{4 x^{2}-25}{2 x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\frac{5}{2}} \frac{4x^{2}-25}{2x-5}.
O conteúdo é limites com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=\tfrac{5}{2}:
numerador:
4\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}-25=4\cdot\tfrac{25}{4}-25=25-25=0,
denominador:
2\cdot\tfrac{5}{2}-5=5-5=0.
Logo é indeterminado 0/0.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando diferença de quadrados:
4x^{2}-25=(2x)^{2}-5^{2}=(2x-5)(2x+5).

Passo 4

Simplificamos a fração cancelando o fator comum 2x-5:
\frac{4x^{2}-25}{2x-5} =\frac{(2x-5)(2x+5)}{2x-5}=2x+5,\quad x\neq\tfrac{5}{2}.

Passo 5

Calculamos o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to\frac{5}{2}}(2x+5) =2\cdot\tfrac{5}{2}+5 =5+5 =10.

Resposta

10

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