Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{\sqrt{|x|}-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{\lvert x\rvert}-1}{x+1}.
O conteúdo aqui é análise de limites com valor absoluto e indeterminação do tipo 0/0. Vamos precisar expressar \lvert x\rvert de forma apropriada para x próximo de -1 e depois racionalizar para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Quando x\to -1, temos x<0. Nesse caso
\lvert x\rvert = -x \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\lvert x\rvert} = \sqrt{-x}.
Logo o limite vira
\lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{-x}-1}{x+1}.

Passo 3

Para remover a forma 0/0, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{-x}+1:
\frac{\sqrt{-x}-1}{x+1} \;\cdot\; \frac{\sqrt{-x}+1}{\sqrt{-x}+1} = \frac{(\sqrt{-x})^2 - 1^2}{(x+1)\,(\sqrt{-x}+1)} = \frac{-x - 1}{(x+1)\,(\sqrt{-x}+1)}.

Passo 4

Note que -x-1 = -(x+1). Assim
\frac{-x - 1}{(x+1)\,(\sqrt{-x}+1)} = -\frac{x+1}{(x+1)\,(\sqrt{-x}+1)} = -\frac{1}{\sqrt{-x}+1}.

Passo 5

Agora avaliamos a expressão simplificada no ponto x=-1:
\lim_{x\to -1}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{-x}+1}\Bigr) = -\frac{1}{\sqrt{-(-1)}+1} = -\frac{1}{1+1} = -\tfrac12.

Resposta

-\,\tfrac12.

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