Calcule, caso existam, os limites a seguir.
\lim _{x \rightarrow \sqrt[3]{3}} \frac{x^{3}-3}{x-\sqrt[3]{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \sqrt[3]{3}} \frac{x^{3}-3}{x-\sqrt[3]{3}}
que é uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar a fatoração de diferença de cubos, que diz que
x^{3}-a^{3} = (x - a)\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr).

Passo 2

Aplicando a fatoração com a=\sqrt[3]{3}, obtemos
x^{3}-3 = x^{3} -\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{3} = \bigl(x-\sqrt[3]{3}\bigr)\bigl(x^{2} + x\,\sqrt[3]{3} + \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}\bigr).
Logo, para x\neq \sqrt[3]{3},
\frac{x^{3}-3}{x-\sqrt[3]{3}} = x^{2} + x\,\sqrt[3]{3} + \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}.

Passo 3

Como já cancelamos a indeterminação, basta substituir x=\sqrt[3]{3} em
x^{2} + x\,\sqrt[3]{3} + \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}.
Chamando a=\sqrt[3]{3}, isso vale
a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3\,a^{2} = 3\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2} = 3\sqrt[3]{9}.

Resposta

\lim_{x\to \sqrt[3]{3}} \frac{x^{3}-3}{x-\sqrt[3]{3}} = 3\sqrt[3]{9}.

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