Calcule o coeficiente de eficácia, considerando um ciclo teórico, para um sistema de refrigeração que utiliza R-12, nas temperaturas de vaporização de -15^{\circ} \mathrm{C},-5^{\circ} \mathrm{C},+5^{\circ} \mathrm{C} e +10^{\circ} \mathrm{C}, e para temperatura de condensação constante de 40^{\circ} \mathrm{C}. Represente os resultados em um gráfico COP × To.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente de eficácia (COP) “considerando um ciclo teórico” para um sistema de refrigeração que usa R-12, para quatro temperaturas de vaporização (evaporação) e com temperatura de condensação fixa em 40^\circ\mathrm{C}. Os dados fornecidos são:
  • Temperatura de condensação: T_H = +40^\circ\mathrm{C}.
  • Temperaturas de vaporização (cada T_L pedido): T_L = -15^\circ\mathrm{C},\\\ -5^\circ\mathrm{C},\\\ +5^\circ\mathrm{C},\\\ +10^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Calcular o coeficiente de eficácia (COP) para o “ciclo teórico” em cada uma dessas condições.
  • Representar os resultados num gráfico \mathrm{COP} \times T_o (onde T_o é a temperatura de evaporação).

Passo 2

Escolha do método (explicação do porquê). O enunciado não especifica qual ciclo teórico usar. Existem dois sentidos possíveis de “ciclo teórico”:
  • o ciclo reversível ideal (Ciclo de Carnot), que dá o máximo teórico possível de desempenho entre duas temperaturas dadas, e não depende do refrigerante;
  • o ciclo teórico de compressão de vapor (ciclo ideal com compressão isentrópica), que depende das propriedades do refrigerante (entropias e entalpias de R-12) e exige tabelas ou software para obter os estados.
Para um cálculo que possa ser feito somente com as temperaturas fornecidas (sem precisar de tabelas de R-12) e que representa o limite máximo teórico, escolho o Ciclo de Carnot reversível. Isso é razoável porque o enunciado fala em “ciclo teórico” e frequentemente em exercícios quer-se o limite ideal (Carnot). Observação importante: o COP de Carnot representa um limite superior — ciclos reais (mesmo ideais de compressão) terão COP menores. O refrigerante R-12 foi informado, mas para o COP de Carnot o tipo de refrigerante não entra na fórmula.

Passo 3

Fórmula do COP para refrigeração no ciclo de Carnot e significado das variáveis.
A definição do coeficiente de eficácia (COP) para um refrigerador é:
\mathrm{COP} = \frac{\text{Efeito frigorífico}}{\text{Trabalho fornecido}}.í
Para o ciclo de Carnot reversível operando entre uma fonte fria à temperatura T_L e uma fonte quente à temperatura T_H (ambas em Kelvin), o COP é dado por:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde:
  • T_L é a temperatura absoluta da fonte fria (evaporador) em kelvin;
  • T_H é a temperatura absoluta da fonte quente (condensador) em kelvin.
Antes de usar a fórmula, é necessário converter as temperaturas dadas em Celsius para Kelvin:
T\,[\mathrm{K}] = T\,[^\circ\mathrm{C}] + 273{,}15.

Passo 4

Conversão das temperaturas e cálculo do denominador T_H - T_L.
Temperatura de condensação:
T_H = 40^\circ\mathrm{C} = 40 + 273{,}15 = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
Temperaturas de evaporação e diferenças:
  • Para T_L = -15^\circ\mathrm{C}: T_L = -15 + 273{,}15 = 258{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_H - T_L = 313{,}15 - 258{,}15 = 55{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Para T_L = -5^\circ\mathrm{C}: T_L = -5 + 273{,}15 = 268{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_H - T_L = 313{,}15 - 268{,}15 = 45{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Para T_L = +5^\circ\mathrm{C}: T_L = 5 + 273{,}15 = 278{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_H - T_L = 313{,}15 - 278{,}15 = 35{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Para T_L = +10^\circ\mathrm{C}: T_L = 10 + 273{,}15 = 283{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_H - T_L = 313{,}15 - 283{,}15 = 30{,}00\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico do \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} para cada caso (mostrando a conta).
Usando \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \dfrac{T_L}{T_H - T_L}:
  • Para T_L = -15^\circ\mathrm{C}:
    \mathrm{COP} = \frac{258{,}15}{55{,}00} = 4{,}6936\ldots \approx 4{,}69.
  • Para T_L = -5^\circ\mathrm{C}:
    \mathrm{COP} = \frac{268{,}15}{45{,}00} = 5{,}9589\ldots \approx 5{,}96.
  • Para T_L = +5^\circ\mathrm{C}:
    \mathrm{COP} = \frac{278{,}15}{35{,}00} = 7{,}9471\ldots \approx 7{,}95.
  • Para T_L = +10^\circ\mathrm{C}:
    \mathrm{COP} = \frac{283{,}15}{30{,}00} = 9{,}4383\ldots \approx 9{,}44.
Explicando a interpretação: à medida que a temperatura de evaporação aumenta (mais próximo da temperatura de condensação), o denominador T_H-T_L diminui e o COP aumenta — ou seja, é mais “barato” refrigerar quando a diferença entre condensador e evaporador é menor.

Passo 6

Tabela de resultados (pares T_L em ^\circ\mathrm{C} e \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}) para facilitar o gráfico.
  • T_L = -15^\circ\mathrm{C} : \mathrm{COP} \approx 4{,}69
  • T_L = -5^\circ\mathrm{C} : \mathrm{COP} \approx 5{,}96
  • T_L = +5^\circ\mathrm{C} : \mathrm{COP} \approx 7{,}95
  • T_L = +10^\circ\mathrm{C} : \mathrm{COP} \approx 9{,}44
Instruções simples para representar o gráfico \mathrm{COP} vs T_o:
  • No eixo x plote a temperatura de evaporação T_o em ^\circ\mathrm{C} (valores: -15,\\\ -5,\\\ +5,\\\ +10).
  • No eixo y plote o \mathrm{COP}.
  • Marque os quatro pontos (-15,4{,}69),\\ (-5,5{,}96),\\ (5,7{,}95),\\ (10,9{,}44) e una-os com uma linha suave (tendência aproximadamente crescente quase linear nesse pequeno intervalo).
  • Se usar Excel: coloque a coluna A com as temperaturas e coluna B com os COPs, selecione e insira um gráfico de dispersão com linhas; rotule eixos.

Passo 7

Observações finais e incentivo (curto e prático).
  • Esses valores são o limite máximo teórico (Carnot). Qualquer ciclo de compressão com R-12 real terá COPs menores por perdas irreversíveis e pela necessidade de sobreaquecimento/ sub-resfriamento, eficiência de compressão, etc.
  • Se quiser que eu faça o cálculo do ciclo teórico de compressão de vapor usando tabelas de R-12 (mais realístico), eu posso — mas aí preciso usar tabelas de propriedades (eu posso buscar os valores de h_g,\\ s_g,\\ h_f etc. e calcular passo a passo).

Resposta

T_L=-15^\circ\mathrm{C}:\\ \mathrm{COP}\approx 4{,}69
T_L=-5^\circ\mathrm{C}:\\ \mathrm{COP}\approx 5{,}96
T_L=+5^\circ\mathrm{C}:\\ \mathrm{COP}\approx 7{,}95
T_L=+10^\circ\mathrm{C}:\\ \mathrm{COP}\approx 9{,}44

Exercícios relacionados