Calcule os coeficientes a_{k} da Série de Fourier para o seguinte sinal periódico de tempo contínuo, com período fundamental \omega_{0}=\pi
x(t)= \begin{cases}1,5, & 0 \leq t<1 \\\\ -1,5, & 1 \leq t<2\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes a_{k}\) da Série de Fourier de um sinal periódico \(x(t)\) de período \(T=2\) (já que \(\omega_{0}=\pi\implies T=2\pi/\omega_{0}=2\)). O sinal vale \[x(t)= \begin{cases} 1,5,&0\le t<1,\\\\ -1,5,&1\le t<2 \end{cases}
Para calcularmos a_{k}\] vamos usar a definição, para \(k\ge1:
a_{k}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\cos\bigl(k\omega_{0}t\bigr)\,\mathrm{d}t
e lembramos que \omega_{0}=\pi e T=2.

Passo 2

Substituindo T=2 e \omega_{0}=\pi na fórmula de a_{k} temos
a_{k} =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}x(t)\cos\bigl(k\pi t\bigr)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{2}x(t)\cos\bigl(k\pi t\bigr)\,\mathrm{d}t.
Agora separamos a integral na região onde x(t)=1,5 e onde x(t)=-1,5:
a_{k} =\int_{0}^{1}1,5\cos(k\pi t)\,\mathrm{d}t +\int_{1}^{2}(-1,5)\cos(k\pi t)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Fatorando 1,5 e usando a primitiva de \cos(k\pi t), que é \tfrac{1}{k\pi}\sin(k\pi t), obtemos
a_{k} =1,5\Bigl[\int_{0}^{1}\cos(k\pi t)\,\mathrm{d}t -\int_{1}^{2}\cos(k\pi t)\,\mathrm{d}t\Bigr] =\frac{1,5}{k\pi}\Bigl[\sin(k\pi t)\Bigr]_{0}^{1} -\frac{1,5}{k\pi}\Bigl[\sin(k\pi t)\Bigr]_{1}^{2}.
Calculando os valores dos senos: \sin(k\pi)=0 e \sin(2k\pi)=0, temos
a_{k} =\frac{1,5}{k\pi}\bigl(\sin(k\pi)-\sin(0)\bigr) -\frac{1,5}{k\pi}\bigl(\sin(2k\pi)-\sin(k\pi)\bigr) =\frac{1,5}{k\pi}(0-0)-\frac{1,5}{k\pi}(0-0)=0.

Passo 4

Como chegamos a a_{k}=0 para todo k\ge1, e a média do sinal também é zero (logo a_{0}=0), concluímos que todos os coeficientes a_{k} se anulam.

Resposta

Para todo k\ge0,
a_{k}=0.

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