Um sistema em tempo discreto recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] conforme a seguinte equação:
y[n]= \begin{cases}x[n], & \text { se } n \text { é par, } \\\\ 2 x[n], & \text { se } n \text { é ímpar, }\end{cases}
O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define um sistema discreto por
y[n]= \begin{cases} x[n], & \text{se \(n\) é par,}\\ 2\,x[n], & \text{se \(n\) é ímpar.} \end{cases}ééí
Queremos verificar se ele é invariante no tempo, ou seja, se para toda entrada x[n] e todo inteiro k vale
\text{saída de }x[n-k]\;=\;y[n-k],í
onde y[n] é a saída original para x[n].
Passo 2
Definição de invariância no tempo: seja x[n] uma entrada genérica com saída y[n]. Se aplicarmos a entrada deslocada x_1[n]=x[n-k], o sistema deve produzir
y_1[n]=y[n-k]
para todo n e todo k. Se existir algum k para o qual isso não acontece, o sistema é tempo-variável.
Passo 3
Calculemos a saída y_1[n] ao usar x_1[n]=x[n-k]. Pelas regras do sistema:
se n é par,
y_1[n]=x_1[n]=x[n-k],
se n é ímpar,
y_1[n]=2\,x_1[n]=2\,x[n-k].
Passo 4
Por outro lado, o deslocamento da saída original é
y[n-k]= \begin{cases} x[n-k], & \text{se \(n-k\) é par,}\\ 2\,x[n-k], & \text{se \(n-k\) é ímpar.} \end{cases}ééí
Passo 5
Para que y_1[n]=y[n-k] valesse sempre, precisaríamos ter “n é par” exatamente quando “n-k é par”, ou seja, n e n-k teriam sempre a mesma paridade. Isso só ocorre se k for par. Mas para um deslocamento ímpar (por exemplo k=1) a paridade muda e
y_1[n]\neq y[n-1]
em geral. Por exemplo, tomando x[n]=\delta[n] e k=1, obtemos y_1[1]=2 enquanto y[0]=1. Logo o sistema falha o teste.