Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
x=3+t^{2} e y=6+2 t^{2}, com 1 \leq t \leq 5;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica definida por
x(t)=3+t^{2},\quad y(t)=6+2t^{2},
para 1\le t\le5. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
x'(t)=\frac{d}{dt}(3+t^{2})=2t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(6+2t^{2})=4t.

Passo 3

Substituímos embaixo da raiz da fórmula de comprimento de arco:
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=(2t)^{2}+(4t)^{2}=4t^{2}+16t^{2}=20t^{2}.
Como t\ge0 no intervalo dado, temos
\sqrt{20t^{2}}=t\sqrt{20}.

Passo 4

Portanto o comprimento de arco é
L=\int_{1}^{5}t\sqrt{20}\;dt =\sqrt{20}\int_{1}^{5}t\;dt =\sqrt{20}\,\biggl[\frac{t^{2}}{2}\biggr]_{1}^{5}.

Passo 5

Avaliam-se os limites:
\bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\bigr]_{1}^{5} =\frac{5^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} =\frac{25-1}{2} =\frac{24}{2} =12.
Logo
L=12\sqrt{20} =12\cdot2\sqrt{5} =24\sqrt{5}.

Resposta

\;24\sqrt{5}

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