Calcule o comprimento inicial do arame, a força e a energia de trefilação na última fieira de um arame de aço com comprimento final de
. São dados:
Diâmetro inicial do fio:
Diâmetro final do fio :
Atrito estimado nas fieras:
Curva tensão-deformação do material:
Limite de Resistência
.
Limite de escoamento
Diâmetro inicial do fio:
Diâmetro final do fio :
Atrito estimado nas fieras:
Curva tensão-deformação do material:
Limite de Resistência
Limite de escoamento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- comprimento final do arame:
. - diâmetro inicial:
. - diâmetro final:
. - coeficiente de atrito estimado nas fieras:
. - curva tensão‑deformação (verdadeira, dada):
em (aqui é a deformação verdadeira adimensional). - limite de resistência (tensão de ruptura):
. - limite de escoamento:
.
O enunciado pede:
- comprimento inicial do arame (antes da trefilação);
- força de trefilação na última fieira (ou seja, a força necessária no fio ao entrar/ao sair da última fieira);
- energia de trefilação na última fieira (energia necessária para deformar o volume de arame que passa por essa fieira).
Observação importante (que vou verificar nos passos seguintes): a curva dada pode prever tensões maiores que
; se isso ocorrer, há um problema físico (o fio quebraria). Vou calcular usando a curva e depois checar se o resultado ultrapassa
. Se ultrapassar, indico o que isso significa e apresento os valores limites também.
Passo 2
Cálculo do comprimento inicial usando conservação de volume (trefilação é essencialmente redução de área sem perda de material).
- Área circular:
. - Conservação de volume:
.
Como a razão das áreas é
, calculo:
Logo
Passo 3
Cálculo da deformação verdadeira total
correspondente à redução
.
A deformação verdadeira em trefilação para redução de área é
Calculo numérico:
Portanto
(sem unidade).
Passo 4
Verificar a tensão prevista pela curva no ponto final e se ultrapassa o limite de resistência.
A curva fornece
(em MPa). Avaliando em
:
Calculemos
então
Isto é maior que o limite de resistência
. Conclusão física: segundo a curva dada, para atingir a deformação total necessária num único passe a tensão do material no fim da deformação seria
, superior à resistência do material; isso significa que, na prática, o fio se romperia antes de completar essa redução numa única fieira. Portanto a trefilação direta de
para
em uma única passada parece inviável sem etapas intermediárias.
Ainda assim, para efeito de cálculo formal (e porque o enunciado pede força e energia na última fieira), eu apresento:
- os valores “teóricos” obtidos integrando a curva (assumindo que a curva fosse válida até o fim); e
- o valor limite baseado em
(força máxima antes de ruptura). Também considerarei o atrito em uma forma aproximada (veja passo seguinte), pois o enunciado não dá geometria da fieira.
Passo 5
Cálculo da energia de deformação ideal (sem atrito) por unidade de volume e depois da energia total.
A energia de trefilação por unidade de volume (energia de deformação plástica) é
Com
temos
Agora substituo
:
Logo
Interpretação de unidades:
, e
é energia por unidade de volume:
.
Volume do arame que passou pela última fieira (usamos o volume final, que é
):
- raio final
. -
- Volume
Energia de deformação (sem atrito):
Mais precisamente
(aprox.
).
Passo 6
Cálculo da força (teórica) necessária na trefilação sem e com atrito (aproximação) e comparação com limite de resistência.
Para estimar a força média de trefilação usamos a relação entre trabalho, tensão média e área. Uma forma prática (usada em muitos cálculos de trefilação) é:
- tensão média ao longo da deformação (média de
sobre a deformação):
Já calculamos
e
, então
- força sem atrito (teórica):
Com
,
Comparação com limite de resistência:
Repare que
. Isso confirma: a força média requerida segundo a curva excede a força correspondente à resistência última do material — em palavras, o fio romperia.
Agora consideração do atrito: o enunciado dá apenas
e não fornece geometria da fieira (ângulo, comprimento de contato, etc.). Sem essa geometria não há fórmula exata para a contribuição do atrito. Uma aproximação comumente usada para obter uma estimativa é modelar o efeito do atrito como uma tensão adicional aproximada
proporcional à tensão de contato; uma aproximação simples e conservadora é:
(Isto é uma aproximação: pressupõe que a pressão média de contato é da ordem da tensão de resistência e que o atrito transforma essa pressão numa tensão resistente adicional
vezes essa pressão.)
Com
e
,
Força de atrito aproximada:
Força total aproximada (teórica, com atrito estimado):
Mas atenção: mesmo o
já ultrapassa
. Com o acréscimo do atrito, o esforço requerido torna‑se ainda maior, reforçando que a operação numa única fieira resultaria em ruptura.
Passo 7
Cálculo da energia de atrito (estimativa) e da energia total.
Usando a mesma aproximação de atrito como uma tensão adicional constante
, a energia adicional por unidade de volume devida ao atrito pode ser estimada por
Isto corresponde a tratar o atrito como uma contribuição de tensão constante ao longo da deformação. Com
e
,
Energia de atrito total:
Energia total aproximada (deformação + atrito):
Passo 8
Interpretação final e recomendações (empática e prática).
- Resultado direto: o comprimento inicial do arame é
. - Usando a curva fornecida, a tensão prevista no fim da deformação é maior que o limite de resistência do material; isso indica que a redução
numa única fieira é provavelmente inviável (o fio romperia). - Valores calculados (assumindo que, hipoteticamente, a curva fosse aplicável até o fim e adotando uma aproximação para atrito):
- força média de trefilação sem atrito:
; - força total aproximada com atrito estimado:
; - energia de deformação (sem atrito):
; - energia de atrito estimada:
; - energia total aproximada:
.
- força média de trefilação sem atrito:
- Como
, o valor seguro a considerar para evitar ruptura seria não ultrapassar . Na prática resolve‑se isso usando passes intermediários (reduções parciais) para que cada passe tenha deformação pequena suficiente para que as tensões não ultrapassem .
Se quiser, eu já monto um plano de passes intermediários (quantas fieras e que reduções por passe) de modo que em cada passe a tensão média fique abaixo de
; também posso refazer os cálculos usando outro modelo de atrito (se der a geometria da fieira) para obter uma estimativa de força mais precisa.
Resposta
Comprimento inicial:
Força teórica média (sem atrito):
Força total aproximada (com atrito estimado ):
Força limite pela resistência última:
Energia de deformação (sem atrito): (≈448 kJ)
Energia de atrito estimada: (≈34,9 kJ)
Energia total aproximada: (≈483 kJ)
Força teórica média (sem atrito):
Força total aproximada (com atrito estimado
Força limite pela resistência última:
Energia de deformação (sem atrito):
Energia de atrito estimada:
Energia total aproximada: