Calcule o comprimento inicial do arame, a força e a energia de trefilação na última fieira de um arame de aço com comprimento final de \mathbf{6 0 ~ m}. São dados:
Diâmetro inicial do fio: \mathbf{6 ~ m m}
Diâmetro final do fio : \mathbf{4 , 8 ~ m m}
Atrito estimado nas fieras: \boldsymbol{\mu}=\mathbf{0 , 0 8}
Curva tensão-deformação do material: \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{=} \mathbf{1 2 0 0} \boldsymbol{\epsilon}^{\mathbf{0 , 1 5}} \boldsymbol{(} \mathbf{M P a} \boldsymbol{)}
Limite de Resistência \left(\sigma_{r}\right)=\mathbf{9 0 0 ~ M P a}.
Limite de escoamento \left(\sigma_{o}\right)=680 \mathrm{MPa}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • comprimento final do arame: L_f=60\\ \text{m}.
  • diâmetro inicial: d_0=6{,}0\\ \text{mm}.
  • diâmetro final: d_f=4{,}8\\ \text{mm}.
  • coeficiente de atrito estimado nas fieras: \mu=0{,}08.
  • curva tensão‑deformação (verdadeira, dada): \displaystyle \sigma(\epsilon)=1200\,\epsilon^{0{,}15} em \text{MPa} (aqui \epsilon é a deformação verdadeira adimensional).
  • limite de resistência (tensão de ruptura): \sigma_r=900\\ \text{MPa}.
  • limite de escoamento: \sigma_o=680\\ \text{MPa}.
O enunciado pede:
  1. comprimento inicial do arame (antes da trefilação);
  2. força de trefilação na última fieira (ou seja, a força necessária no fio ao entrar/ao sair da última fieira);
  3. energia de trefilação na última fieira (energia necessária para deformar o volume de arame que passa por essa fieira).
Observação importante (que vou verificar nos passos seguintes): a curva dada pode prever tensões maiores que \sigma_r; se isso ocorrer, há um problema físico (o fio quebraria). Vou calcular usando a curva e depois checar se o resultado ultrapassa \sigma_r. Se ultrapassar, indico o que isso significa e apresento os valores limites também.

Passo 2

Cálculo do comprimento inicial usando conservação de volume (trefilação é essencialmente redução de área sem perda de material).
  • Área circular: A=\dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Conservação de volume: A_0 L_0 = A_f L_f \Rightarrow L_0 = \dfrac{A_f}{A_0}\,L_f.
Como a razão das áreas é \dfrac{A_f}{A_0}=\left(\dfrac{d_f}{d_0}\right)^2, calculo:
\frac{d_f}{d_0}=\frac{4{,}8}{6{,}0}=0{,}8, \qquad \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2=0{,}8^2=0{,}64.
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L_0 = 0{,}64\cdot L_f = 0{,}64\cdot 60\\ \text{m}=38{,}4\\ \text{m}.

Passo 3

Cálculo da deformação verdadeira total \epsilon correspondente à redução d_0\to d_f.
A deformação verdadeira em trefilação para redução de área é
\epsilon=\ln\!\left(\frac{A_0}{A_f}\right)=\ln\!\left(\frac{d_0^2}{d_f^2}\right)=2\ln\!\left(\frac{d_0}{d_f}\right).
Calculo numérico:
\frac{d_0}{d_f}=\frac{6{,}0}{4{,}8}=1{,}25, \qquad \epsilon=2\ln(1{,}25)=\ln(1{,}5625)\approx 0{,}4462871.
Portanto \epsilon\approx 0{,}4463 (sem unidade).

Passo 4

Verificar a tensão prevista pela curva no ponto final e se ultrapassa o limite de resistência.
A curva fornece \sigma(\epsilon)=1200\,\epsilon^{0{,}15} (em MPa). Avaliando em \epsilon=0{,}4462871:
\sigma(\epsilon)=1200\cdot(0{,}4462871)^{0{,}15}.
Calculemos (0{,}4462871)^{0{,}15}=\exp\big(0{,}15\ln(0{,}4462871)\big)\approx 0{,}886, então
\sigma(\epsilon)\approx 1200\cdot 0{,}886\approx 1063\\ \text{MPa}.
Isto é maior que o limite de resistência \sigma_r=900\\ \text{MPa}. Conclusão física: segundo a curva dada, para atingir a deformação total necessária num único passe a tensão do material no fim da deformação seria \approx1063\\ \text{MPa}, superior à resistência do material; isso significa que, na prática, o fio se romperia antes de completar essa redução numa única fieira. Portanto a trefilação direta de 6{,}0\\ \text{mm} para 4{,}8\\ \text{mm} em uma única passada parece inviável sem etapas intermediárias.
Ainda assim, para efeito de cálculo formal (e porque o enunciado pede força e energia na última fieira), eu apresento:
  • os valores “teóricos” obtidos integrando a curva (assumindo que a curva fosse válida até o fim); e
  • o valor limite baseado em \sigma_r (força máxima antes de ruptura). Também considerarei o atrito em uma forma aproximada (veja passo seguinte), pois o enunciado não dá geometria da fieira.

Passo 5

Cálculo da energia de deformação ideal (sem atrito) por unidade de volume e depois da energia total.
A energia de trefilação por unidade de volume (energia de deformação plástica) é
w=\int_{0}^{\epsilon}\sigma(\epsilon')\,\mathrm{d}\epsilon'.
Com \sigma(\epsilon)=1200\,\epsilon^{0{,}15} temos
w=\int_{0}^{\epsilon}1200\,\epsilon'^{0{,}15}\,\mathrm{d}\epsilon' = \frac{1200}{1{,}15}\,\epsilon^{1{,}15}.
Agora substituo \epsilon=0{,}4462871:
\frac{1200}{1{,}15}\approx 1043{,}4783, \qquad \epsilon^{1{,}15}\approx (0{,}4462871)^{1{,}15}\approx 0{,}395164.
Logo
w \approx 1043{,}4783\cdot 0{,}395164 \approx 412{,}543\\ \text{MPa}.
Interpretação de unidades: 1\\ \text{MPa}=10^{6}\\ \text{N/m}^2, e w é energia por unidade de volume: w\approx 412{,}543\times10^{6}\\ \text{J/m}^3.
Volume do arame que passou pela última fieira (usamos o volume final, que é A_f L_f):
  • raio final r_f=2{,}4\\ \text{mm}=2{,}4\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • A_f=\pi r_f^2=\pi(2{,}4\times10^{-3})^2=\pi\cdot5{,}76\times10^{-6}\\ \text{m}^2\approx 1{,}809556\times10^{-5}\\ \text{m}^2.
  • Volume V=A_f L_f \approx 1{,}809556\times10^{-5}\cdot 60 \approx 1{,}085734\times10^{-3}\\ \text{m}^3.
Energia de deformação (sem atrito):
W_{\text{deform}} = w\cdot V \approx 412{,}543\times10^{6}\cdot 1{,}085734\times10^{-3}\\ \text{J} \approx 4{,}48\times10^{5}\\ \text{J}.
Mais precisamente W_{\text{deform}}\approx 4,48\times 10^{5}\\ \text{J} (aprox. 448\\ \text{kJ}).

Passo 6

Cálculo da força (teórica) necessária na trefilação sem e com atrito (aproximação) e comparação com limite de resistência.
Para estimar a força média de trefilação usamos a relação entre trabalho, tensão média e área. Uma forma prática (usada em muitos cálculos de trefilação) é:
  • tensão média ao longo da deformação (média de \sigma sobre a deformação):
\bar\sigma=\frac{1}{\epsilon}\int_0^\epsilon \sigma(\epsilon')\,\mathrm{d}\epsilon'=\frac{w}{\epsilon}.
Já calculamos w\approx 412{,}543\\ \text{MPa} e \epsilon\approx 0{,}4462871, então
\bar\sigma \approx \frac{412{,}543}{0{,}4462871}\\ \text{MPa}\approx 924{,}67\\ \text{MPa}.
  • força sem atrito (teórica):
F_{\text{ideal}}=\bar\sigma\cdot A_f.
Com A_f\approx 1{,}809556\times10^{-5}\\ \text{m}^2,
F_{\text{ideal}}\approx 924{,}67\times10^{6}\cdot 1{,}809556\times10^{-5}\\ \text{N} \approx 1{,}6744\times10^{4}\\ \text{N}\approx 16{,}74\\ \text{kN}.
Comparação com limite de resistência:
F_{\max}=\sigma_r\cdot A_f=900\times10^{6}\cdot 1{,}809556\times10^{-5}\\ \text{N}\approx 16{,}286\\ \text{N}\approx 16{,}29\\ \text{kN}.
Repare que F_{\text{ideal}}\approx 16{,}74\\ \text{kN} > F_{\max}\approx 16{,}29\\ \text{kN}. Isso confirma: a força média requerida segundo a curva excede a força correspondente à resistência última do material — em palavras, o fio romperia.
Agora consideração do atrito: o enunciado dá apenas \mu=0{,}08 e não fornece geometria da fieira (ângulo, comprimento de contato, etc.). Sem essa geometria não há fórmula exata para a contribuição do atrito. Uma aproximação comumente usada para obter uma estimativa é modelar o efeito do atrito como uma tensão adicional aproximada \sigma_{\text{fric}} proporcional à tensão de contato; uma aproximação simples e conservadora é:
\sigma_{\text{fric}}\approx \mu\\ \sigma_r.
(Isto é uma aproximação: pressupõe que a pressão média de contato é da ordem da tensão de resistência e que o atrito transforma essa pressão numa tensão resistente adicional \mu vezes essa pressão.)
Com \mu=0{,}08 e \sigma_r=900\\ \text{MPa},
\sigma_{\text{fric}}=0{,}08\cdot 900=72\\ \text{MPa}.
Força de atrito aproximada:
F_{\text{fric}}\approx \sigma_{\text{fric}}\cdot A_f =72\times10^{6}\cdot 1{,}809556\times10^{-5}\\ \text{N}\approx 1{,}303\\ \text{N}.
Força total aproximada (teórica, com atrito estimado):
F_{\text{tot}}\approx F_{\text{ideal}}+F_{\text{fric}}\approx 16{,}744\\ \text{N}+1{,}303\\ \text{N}\approx 18{,}047\\ \text{N}\approx 18{,}05\\ \text{kN}.
Mas atenção: mesmo o F_{\text{ideal}} já ultrapassa F_{\max}. Com o acréscimo do atrito, o esforço requerido torna‑se ainda maior, reforçando que a operação numa única fieira resultaria em ruptura.

Passo 7

Cálculo da energia de atrito (estimativa) e da energia total.
Usando a mesma aproximação de atrito como uma tensão adicional constante \sigma_{\text{fric}}=\mu\sigma_r, a energia adicional por unidade de volume devida ao atrito pode ser estimada por
w_{\text{fric}}\approx \sigma_{\text{fric}}\cdot \epsilon.
Isto corresponde a tratar o atrito como uma contribuição de tensão constante ao longo da deformação. Com \sigma_{\text{fric}}=72\\ \text{MPa} e \epsilon=0{,}4462871,
w_{\text{fric}}\approx 72\cdot 0{,}4462871\\ \text{MPa}\approx 32{,}145\\ \text{MPa}.
Energia de atrito total:
W_{\text{fric}}=w_{\text{fric}}\cdot V \approx 32{,}145\times10^{6}\cdot 1{,}085734\times10^{-3}\\ \text{J}\approx 3{,}49\times10^{4}\\ \text{J}\approx 34{,}9\\ \text{kJ}.
Energia total aproximada (deformação + atrito):
W_{\text{total}}\approx W_{\text{deform}}+W_{\text{fric}}\approx 448{,}1\\ \text{kJ}+34{,}9\\ \text{kJ}\approx 483{,}0\\ \text{kJ}.

Passo 8

Interpretação final e recomendações (empática e prática).
  • Resultado direto: o comprimento inicial do arame é L_0=38{,}4\\ \text{m}.
  • Usando a curva fornecida, a tensão prevista no fim da deformação é maior que o limite de resistência do material; isso indica que a redução 6{,}0\\ \text{mm}\to 4{,}8\\ \text{mm} numa única fieira é provavelmente inviável (o fio romperia).
  • Valores calculados (assumindo que, hipoteticamente, a curva fosse aplicável até o fim e adotando uma aproximação para atrito):
    • força média de trefilação sem atrito: F_{\text{ideal}}\approx 16{,}74\\ \text{kN};
    • força total aproximada com atrito estimado: F_{\text{tot}}\approx 18{,}05\\ \text{kN};
    • energia de deformação (sem atrito): W_{\text{deform}}\approx 448\\ \text{kJ};
    • energia de atrito estimada: W_{\text{fric}}\approx 34{,}9\\ \text{kJ};
    • energia total aproximada: W_{\text{total}}\approx 483\\ \text{kJ}.
  • Como F_{\text{ideal}}>F_{\max}=\sigma_r A_f, o valor seguro a considerar para evitar ruptura seria não ultrapassar F_{\max}\approx 16{,}29\\ \text{kN}. Na prática resolve‑se isso usando passes intermediários (reduções parciais) para que cada passe tenha deformação pequena suficiente para que as tensões não ultrapassem \sigma_r.
Se quiser, eu já monto um plano de passes intermediários (quantas fieras e que reduções por passe) de modo que em cada passe a tensão média fique abaixo de \sigma_r; também posso refazer os cálculos usando outro modelo de atrito (se der a geometria da fieira) para obter uma estimativa de força mais precisa.

Resposta

Comprimento inicial: 38{,}4\\ \text{m}
Força teórica média (sem atrito): F_{\text{ideal}}\approx 16{,}74\\ \text{kN}
Força total aproximada (com atrito estimado \mu\sigma_r): F_{\text{tot}}\approx 18{,}05\\ \text{kN}
Força limite pela resistência última: F_{\max}=\sigma_rA_f\approx 16{,}29\\ \text{kN}
Energia de deformação (sem atrito): W_{\text{deform}}\approx 4{,}48\times10^{5}\\ \text{J} (≈448 kJ)
Energia de atrito estimada: W_{\text{fric}}\approx 3{,}49\times10^{4}\\ \text{J} (≈34,9 kJ)
Energia total aproximada: W_{\text{total}}\approx 4{,}83\times10^{5}\\ \text{J} (≈483 kJ)

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