2- Calcule a concentração de \mathrm{H}^{+}(a q) em a) uma solução na qual \left[\mathrm{OH}^{-}\right]é 0,010 \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1}; b) uma solução na qual \left[\mathrm{OH}^{-}\right]é 1,8 \times 10^{-9} \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}. Suponha que a temperatura é 25^{\circ} \mathrm{C}. pág. 572.

Passo 1

O enunciado dá duas soluções a 25^\circ\mathrm C com concentrações conhecidas de \mathrm{OH}^- e pede a concentração de \mathrm{H}^+. O equilíbrio de água nos diz que
K_w = [\mathrm{H}^+]\,[\mathrm{OH}^-] = 1{,}0\times10^{-14}\,.
Para soluções em que [\mathrm{OH}^-] é muito maior que 10^{-7} M, basta usar
[\mathrm{H}^+]=\frac{K_w}{[\mathrm{OH}^-]}\,.
Se [\mathrm{OH}^-] é da ordem de 10^{-7} M ou menor, a autoionização da água passa a concorrer, e devemos resolver
x\,\bigl(c + x\bigr)=K_w,
onde c é a base adicionada (concentração de \mathrm{OH}^- “externa”) e x=[\mathrm{H}^+].

Passo 2

Parte (a): como [\mathrm{OH}^-]=0{,}010 mol L ^{-1} \bigl(\gg10^{-7}\bigr), negligenciamos a autoionização da água e usamos diretamente
[\mathrm{H}^+] =\frac{K_w}{[\mathrm{OH}^-]} =\frac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}0\times10^{-2}} =1{,}0\times10^{-12}\\ \text{mol L}^{-1}\,.

Passo 3

Parte (b): aqui [\mathrm{OH}^-]=1{,}8\times10^{-9} mol L ^{-1} está abaixo de 10^{-7}, então escrevemos o balanço de íons da água:
x\bigl(c+x\bigr)=K_w,
onde c=1{,}8\times10^{-9} mol L ^{-1} e x=[\mathrm{H}^+]. Isso dá a equação quadrática
x^2 + c\,x - K_w = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (escolhendo a raiz positiva),
x = \frac{-c + \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2} = \frac{-1{,}8\times10^{-9} + \sqrt{(1{,}8\times10^{-9})^2 + 4\times10^{-14}}}{2}.
Como (1{,}8\times10^{-9})^2=3{,}24\times10^{-18} é muito menor que 4\times10^{-14}, temos
\sqrt{c^2+4K_w}\approx\sqrt{4{,}0\times10^{-14}}=2{,}0\times10^{-7},
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[\mathrm{H}^+] =\frac{-1{,}8\times10^{-9}+2{,}0\times10^{-7}}{2} \approx9{,}9\times10^{-8}\\ \text{mol L}^{-1}\,.

Resposta

a) [\mathrm{H}^+]=1{,}0\times10^{-12} mol L ^{-1}
b) [\mathrm{H}^+]\approx9{,}9\times10^{-8} mol L ^{-1}

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