Calcule o pH e as concentrações de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3} \mathrm{~N} e \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3} \mathrm{NH}^{+}\left(\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}=9,8\right) em uma solução 0,07 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3} \mathrm{NHCl}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o pH da solução.
  • Calcular as concentrações de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N} (a base livre) e de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+} (o íon protonado) em equilíbrio.
As informações fornecidas:
  • A solução contém \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NHCl} com concentração inicial \;0,07\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • Foi dada a constante de acidez do ácido conjugado: \;pK_a=9,8 para \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+}.
Observações óbvias (retiradas do enunciado):
  • \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NHCl} é um sal solúvel e se dissocia completamente em água, então a concentração inicial de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+} é \;0,07\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • \mathrm{Cl}^{-} é níon espectador e não participa no equilíbrio ácido-base que nos interessa.

Passo 2

Entender o equilíbrio químico que ocorre:
  • O íon \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+} é o ácido conjugado da base \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N}. Em água ele pode doar um próton:
\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+} + \mathrm{H_{2}O} \rightleftharpoons \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N} + \mathrm{H_{3}O^{+}}.
  • A constante de equilíbrio para essa reação é a constante de acidez K_a do ácido \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+}.
  • Relação entre pK_a e K_a:
K_a = 10^{-pK_a}.
Explicando: pK_a é o logaritmo negativo da constante de acidez; um pK_a grande significa ácido fraco (pequeno K_a).

Passo 3

Calcular numericamete K_a a partir de pK_a=9,8:
K_a = 10^{-9,8} = 1,5849\times 10^{-10}.
Agora definimos as concentrações no equilíbrio. Seja x a quantidade de \left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N} formada no equilíbrio; então:
  • [\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N}] = x.
  • [\mathrm{H_{3}O^{+}}] = x (desprezando a água autoionizada inicialmente).
  • [\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+}] = 0,07 - x.
A expressão da constante é:
K_a = \frac{[\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N}]\,[\mathrm{H_{3}O^{+}}]}{[\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+}]} = \frac{x\cdot x}{0,07 - x} = \frac{x^{2}}{0,07 - x}.

Passo 4

Montar e resolver a equação para x. Da expressão anterior:
x^{2} = K_a(0,07 - x).
Reorganizando:
x^{2} + K_a x - K_a\cdot 0,07 = 0.
Esta é uma equação quadrática em x. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-K_a + \sqrt{K_a^{2} + 4 K_a\cdot 0,07}}{2}.
(Negamos a raiz negativa porque a outra solução seria negativa ou fisicamente inválida.)

Passo 5

Calcular numericamente x. Primeiro calcule K_a\cdot 0,07:
K_a\cdot 0,07 = 1,5849\times 10^{-10}\times 0,07 = 1,1094\times 10^{-11}.
Calcule o discriminante:
K_a^{2} + 4 K_a\cdot 0,07 \approx 4\cdot 1,1094\times 10^{-11} = 4,4376\times 10^{-11},
pois K_a^{2} é muito menor e pode ser desprezado numericamente. Logo
\sqrt{K_a^{2} + 4 K_a\cdot 0,07}\approx \sqrt{4,4376\times 10^{-11}} \approx 6,666\times 10^{-6}.
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
x \approx \frac{-1,5849\times 10^{-10} + 6,666\times 10^{-6}}{2} \approx \frac{6,66584\times 10^{-6}}{2} = 3,3329\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Comentário didático sobre aproximação: uma aproximação usual para ácidos fracos é usar x\approx \sqrt{K_a\cdot C} quando x\ll C. Aqui
\sqrt{K_a\cdot 0,07} = \sqrt{1,1094\times 10^{-11}} \approx 3,33\times 10^{-6},
mesma ordem de magnitude que a solução exata — a aproximação é válida porque x/0,07\approx 4,76\times 10^{-5}\ll 1.

Passo 6

Calcular o pH a partir de [\mathrm{H_{3}O^{+}}]=x:
\text{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H_{3}O^{+}}] = -\log_{10}\left(3,3329\times 10^{-6}\right).
Compute o logaritmo:
\log_{10}\left(3,3329\times 10^{-6}\right)=\log_{10}(3,3329)-6 \approx 0,5229-6 = -5,4771,
então
\text{pH}\approx 5,48.
Observação: a contribuição de \mathrm{H_{3}O^{+}} da autoionização da água ( 10^{-7}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}) é menor que x e, portanto, não altera significativamente o pH calculado.

Passo 7

Calcular as concentrações finais pedidas:
  • [\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N}] = x \approx 3,33\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
  • ([\left(\mathrm{CH}{3}\right){3}\mathrm{NH}^{+}] = 0,07 - x \approx 0,07 - 3,3329\times 10^{-6} = 0,0699967\ \mathrm{mol,L^{-1}} \approx 0,069997\ \mathrm{mol,L^{-1}}.
Interpretação rápida e motivadora: a base livre aparece em concentração muito pequena porque começamos com o ácido conjugado (sal). O pH fica ácido (aprox. 5,48) porque o íon protonado libera prótons em pequena quantidade suficiente para tornar a solução ácida em relação à água pura.)

Resposta

\text{pH} \approx 5,48
[\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{N}] \approx 3,33\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
[\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}\mathrm{NH}^{+}] \approx 0,069997\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}