Calcule d r / d tau usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando r em termos de tau e diferenciando.
r = i + 3 t^(3/2) j + t k ; t = 1/tau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas de funções vetoriais. A tarefa é calcular a derivada de um vetor em relação a usando a regra da cadeia. Depois, vamos conferir esse resultado expressando diretamente em termos de e diferenciando novamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções vetoriais e saber como lidar com derivadas de componentes individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a regra da cadeia para calcular . A função vetorial dada é:
E sabemos que . A regra da cadeia nos diz que:
Vamos derivar cada componente de em relação a :
  1. Componente : É constante, então a derivada é 0.
  2. Componente : . A derivada em relação a é .
  3. Componente : . A derivada em relação a é .
Agora, precisamos calcular :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos conferir nosso resultado expressando diretamente em termos de e diferenciando:
Dado que , substituímos na expressão de :
Vamos derivar cada componente em relação a :
  1. Componente : É constante, então a derivada é 0.
  2. Componente : . A derivada em relação a é .
  3. Componente : . A derivada em relação a é .
Juntando tudo:
Reescrevendo de forma mais clara:

Resposta

Depois de aplicar a regra da cadeia e conferir, a derivada de em relação a é:

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