Calcule
usando a regra de cadeia e, então, confira seu resultado expressando
em termos de
e diferenciando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo derivadas de funções vetoriais. A tarefa é calcular a derivada de um vetor
em relação a
usando a regra da cadeia. Depois, vamos conferir esse resultado expressando
diretamente em termos de
e diferenciando novamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções vetoriais e saber como lidar com derivadas de componentes individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a regra da cadeia para calcular
. A função vetorial dada é:
E sabemos que
. A regra da cadeia nos diz que:
Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
- Componente
: É constante, então a derivada é 0. - Componente
: . A derivada em relação a é . - Componente
: . A derivada em relação a é .
Agora, precisamos calcular
:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos conferir nosso resultado expressando
diretamente em termos de
e diferenciando:
Dado que
, substituímos na expressão de
:
Vamos derivar cada componente em relação a
:
- Componente
: É constante, então a derivada é 0. - Componente
: . A derivada em relação a é . - Componente
: . A derivada em relação a é .
Juntando tudo:
Reescrevendo de forma mais clara:
Resposta
Depois de aplicar a regra da cadeia e conferir, a derivada de
em relação a
é: