Calcule as deformações principais para \sigma_{1}=34,94 \mathrm{Mpa}, \quad \sigma_{2}=12,41 \mathrm{Mpa}, \sigma_{3}=-9,35 Mpa.
Dados:
E=2,07.10^{5}(M P a) ; \quad \mu=0,3

Passo 1

O enunciado pede: calcular as deformações principais correspondentes às tensões principais dadas. Dados fornecidos:
  • Tensões principais: \sigma_{1}=34,94\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{2}=12,41\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{3}=-9,35\\ \mathrm{MPa}.
  • Propriedades elásticas: E=2,07\cdot 10^{5}\\ \mathrm{MPa} e \mu=0,3.
O que se pede explicitamente: encontrar \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} e \varepsilon_{3} (as deformações principais) correspondentes a \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}.

Passo 2

Qual relação usaremos (introdução didática):
Para um material elástico linear isotrópico, a lei de Hooke tridimensional nas direções principais (onde as tensões são \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} e as deformações correspondentes são \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}) tem a forma:
\varepsilon_{i}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{i}-\mu(\sigma_{j}+\sigma_{k})\Big),\quad\text{com }(i,j,k)\text{ permutação de }(1,2,3).çã
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon_{i} é a deformação principal na direção i.
  • E é o módulo de Young (rigidez do material).
  • \mu é o coeficiente de Poisson.
  • \sigma_{i} é a tensão principal na direção i.
  • \sigma_{j},\sigma_{k} são as outras duas tensões principais.
    Essa fórmula vem de escrever as equações de Hooke tridimensionais e notar que, em eixos principais, as tensões cortantes são zero, ficando as equações na forma acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \varepsilon_{1}:
\varepsilon_{1}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{1}-\mu(\sigma_{2}+\sigma_{3})\Big).
Substituindo os valores (observe que as tensões foram dadas em \mathrm{MPa} e E também em \mathrm{MPa}, logo as unidades se cancelam e \varepsilon é adimensional):
\varepsilon_{1}=\frac{1}{2,07\cdot 10^{5}}\Big(34,94-0,3(12,41+(-9,35))\Big).
Calcule primeiro a soma interna:
\sigma_{2}+\sigma_{3}=12,41+(-9,35)=3,06\\ \mathrm{MPa}.
Então
0,3(\sigma_{2}+\sigma_{3})=0,3\cdot 3,06=0,918\\ \mathrm{MPa}.
Agora o numerador:
\sigma_{1}-0,918=34,94-0,918=34,022\\ \mathrm{MPa}.
Dividindo por E:
\varepsilon_{1}=\frac{34,022}{2,07\cdot 10^{5}}=0,0001643043\ldots

Passo 4

Aplicando a fórmula para \varepsilon_{2}:
\varepsilon_{2}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{2}-\mu(\sigma_{1}+\sigma_{3})\Big).
Substituindo os valores:
\varepsilon_{2}=\frac{1}{2,07\cdot 10^{5}}\Big(12,41-0,3(34,94+(-9,35))\Big).
Calcule a soma:
\sigma_{1}+\sigma_{3}=34,94+(-9,35)=25,59\\ \mathrm{MPa}.
Então
0,3(\sigma_{1}+\sigma_{3})=0,3\cdot 25,59=7,677\\ \mathrm{MPa}.
Numerador:
\sigma_{2}-7,677=12,41-7,677=4,733\\ \mathrm{MPa}.
Dividindo por E:
\varepsilon_{2}=\frac{4,733}{2,07\cdot 10^{5}}=0,0000228652\ldots

Passo 5

Aplicando a fórmula para \varepsilon_{3}:
\varepsilon_{3}=\frac{1}{E}\Big(\sigma_{3}-\mu(\sigma_{1}+\sigma_{2})\Big).
Substituindo:
\varepsilon_{3}=\frac{1}{2,07\cdot 10^{5}}\Big(-9,35-0,3(34,94+12,41)\Big).
Calcule a soma:
\sigma_{1}+\sigma_{2}=34,94+12,41=47,35\\ \mathrm{MPa}.
Então
0,3(\sigma_{1}+\sigma_{2})=0,3\cdot 47,35=14,205\\ \mathrm{MPa}.
Numerador:
\sigma_{3}-14,205=-9,35-14,205=-23,555\\ \mathrm{MPa}.
Dividindo por E:
\varepsilon_{3}=\frac{-23,555}{2,07\cdot 10^{5}}=-0,0001138478\ldots

Passo 6

Verificação (útil para conferir contas): a deformação volumétrica \varepsilon_{v}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3} também pode ser obtida por
\varepsilon_{v}=\frac{1-2\mu}{E}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}).
Aqui \sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}=34,94+12,41+(-9,35)=38,00\\ \mathrm{MPa}.
Logo
\varepsilon_{v}=\frac{1-2\cdot 0,3}{2,07\cdot 10^{5}}\cdot 38,00=\frac{0,4\cdot 38,00}{2,07\cdot 10^{5}}=0,0000734319\ldots
Somando as três \varepsilon calculadas obtém-se aproximadamente 0,00007332, consistente com a expressão direta (pequima diferença devido a arredondamentos mostrados).

Resposta

\varepsilon_{1}=1,6430\times 10^{-4}
\varepsilon_{2}=2,2865\times 10^{-5}
\varepsilon_{3}=-1,1385\times 10^{-4}

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