Calcule as deformações principais para
,
Mpa.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as deformações principais correspondentes às tensões principais dadas. Dados fornecidos:
- Tensões principais:
, , . - Propriedades elásticas:
e .
O que se pede explicitamente: encontrar
,
e
(as deformações principais) correspondentes a
.
Passo 2
Qual relação usaremos (introdução didática):
Para um material elástico linear isotrópico, a lei de Hooke tridimensional nas direções principais (onde as tensões são e as deformações correspondentes são
) tem a forma:
Para um material elástico linear isotrópico, a lei de Hooke tridimensional nas direções principais (onde as tensões são
Explicando cada símbolo:
-
é a deformação principal na direção . -
é o módulo de Young (rigidez do material). -
é o coeficiente de Poisson. -
é a tensão principal na direção . -
são as outras duas tensões principais.
Essa fórmula vem de escrever as equações de Hooke tridimensionais e notar que, em eixos principais, as tensões cortantes são zero, ficando as equações na forma acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
:
Substituindo os valores (observe que as tensões foram dadas em
e
também em
, logo as unidades se cancelam e
é adimensional):
Calcule primeiro a soma interna:
Então
Agora o numerador:
Dividindo por
:
Passo 4
Aplicando a fórmula para
:
Substituindo os valores:
Calcule a soma:
Então
Numerador:
Dividindo por
:
Passo 5
Aplicando a fórmula para
:
Substituindo:
Calcule a soma:
Então
Numerador:
Dividindo por
:
Passo 6
Verificação (útil para conferir contas): a deformação volumétrica
também pode ser obtida por
Aqui
.
Logo
Logo
Somando as três
calculadas obtém-se aproximadamente
, consistente com a expressão direta (pequima diferença devido a arredondamentos mostrados).