Um cilindro fechado de parede fina é pressurizado a 10 Mpa , causando deformação plástica. O Material Apresenta \sigma_{V}=200 . \varepsilon_{V}{ }^{0,35} (Mpa). Calcule a deformação circunferencial \left(\varepsilon_{V 1}\right), sabendo que a razão raio/espessura =20.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão interna: p=10\\ \text{MPa}.
    • Lei de escoamento (relaciona tensão equivalente de von Mises com deformação equivalente): \sigma_{V}=200\;\varepsilon_{V}^{0,35} (unidades: \text{MPa} para \sigma_V, deformação adimensional).
    • Razão raio/espessura: \dfrac{r}{t}=20.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a deformação circunferencial \left(\varepsilon_{V1}\right). (Interpreto \varepsilon_{V1} como a componente principal da deformação plástica na direção circumferencial — isto é, a deformação plástica hoop.)

Passo 2

Calcular as tensões principais no casco fino de cilindro (caso de parede fina clássico).
  • Para cilindro fechado e parede fina:
    • tensão circumferencial (hoop): \sigma_\theta=\dfrac{p\,r}{t}.
    • tensão axial (longitudinal): \sigma_z=\dfrac{p\,r}{2t}.
  • Como \dfrac{r}{t}=20 e p=10\\ \text{MPa}: \sigma_\theta = p\cdot 20 = 10\cdot 20 = 200\\ \text{MPa}, \qquad \sigma_z = p\cdot \dfrac{20}{2} = 10\cdot 10 = 100\\ \text{MPa}.
  • A tensão radial é desprezível (paredes finas), então \sigma_r\approx 0.

Passo 3

Calcular a tensão equivalente de von Mises a partir das tensões principais.
  • Fórmula usual (com três componentes principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3): \sigma_V = \sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\big]}.
  • Aqui \sigma_1=\sigma_\theta=200\\ \text{MPa}, \sigma_2=\sigma_z=100\\ \text{MPa}, \sigma_3=\sigma_r=0. Substituindo e simplificando (pelo caso \sigma_3=0) resulta em \sigma_V=\sqrt{\sigma_\theta^2+\sigma_z^2-\sigma_\theta\sigma_z}.
  • Calculando: \sigma_V=\sqrt{200^2+100^2-200\cdot100} =\sqrt{40000+10000-20000} =\sqrt{30000} =100\sqrt{3}\\ \text{MPa}\approx 173{,}205\\ \text{MPa}.

Passo 4

Determinar a deformação equivalente \varepsilon_{V} a partir da lei de escoamento dada.
  • A lei é \sigma_{V}=200\;\varepsilon_{V}^{0,35}. Invertendo para \varepsilon_V: \varepsilon_{V}=\left(\dfrac{\sigma_{V}}{200}\right)^{1/0{,}35}.
  • Substituindo \sigma_V\approx 173{,}205\\ \text{MPa}: \varepsilon_{V}=\left(\dfrac{173{,}205}{200}\right)^{1/0{,}35} =\big(0{,}8660254\big)^{2{,}8571429}\approx 0{,}6637.

Passo 5

Relacionar a deformação equivalente \varepsilon_V com a componente circumferencial \varepsilon_{V1}.
  • Definição prática da deformação plástica equivalente (von Mises) usada em metalurgia/plasticidade: \varepsilon_{V}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\big(\varepsilon_1^{2}+\varepsilon_2^{2}+\varepsilon_3^{2}\big)},onde \varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3 são as deformações plásticas principais (componentes principais).
  • Para escoamento von Mises com fluxo associado, os incrementos de deformação plástica são proporcionais às componentes desviadoras das tensões (s_i = \sigma_i-\sigma_m, com \sigma_m a média). Calculemos os desviadores: \sigma_m=\dfrac{\sigma_\theta+\sigma_z+\sigma_r}{3}=\dfrac{200+100+0}{3}=100\\ \text{MPa}.Então s_\theta=200-100=100,\qquad s_z=100-100=0,\qquad s_r=0-100=-100.Logo os incrementos/plásticas principais satisfazem a razão \varepsilon_\theta : \varepsilon_z : \varepsilon_r = 1 : 0 : -1.Denotando \varepsilon_\theta=a, obtemos \varepsilon_z=0, \varepsilon_r=-a.
  • Substituindo na definição de \varepsilon_V: \varepsilon_{V}=\sqrt{\dfrac{2}{3}\big(a^{2}+0^{2}+(-a)^{2}\big)} =\sqrt{\dfrac{2}{3}\cdot 2a^{2}} =\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,|a|.Como estamos tratando de amplitudes, tomamos a>0. Assim a=\varepsilon_\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\varepsilon_{V}.

Passo 6

Calcular numericamente a deformação circunferencial \varepsilon_{V1}=\varepsilon_\theta.
  • Usando \varepsilon_{V}\approx 0{,}6637 e \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254: \varepsilon_{V1}=\varepsilon_\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\varepsilon_{V} \approx 0{,}8660254\times 0{,}6637 \approx 0{,}5742.
  • Arredondando com três algarismos significativos: \varepsilon_{V1}\approx 0{,}574 (deformação adimensional, ou 57{,}4\%).

Resposta

\varepsilon_{V1}=0,574

Exercícios relacionados