Um gás ideal monoatômico, a
e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
adiabática e reversível;
adiabática e reversível;
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho realizado na expansão adiabática reversível:
- Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
. - O volume final é o dobro do inicial:
.
Observações importantes que extraí do enunciado:
- Não foi informado o número de mols
. Vou apresentar a expressão geral em função de e também calcular o valor numérico para mol (caso típico em exercícios).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (com explicações curtas e claras):
- Para um gás ideal vale a lei dos gases:
onde
é pressão,
volume,
número de mols,
constante universal dos gases e
temperatura absoluta (em K). Aqui
.
- Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a relação politrópica adiabática:
onde
é a razão dos calores molares
.
- Para um gás monoatômico ideal (modelo sem graus de vibração excitados) temos:
Explicação rápida:
é a capacidade calorífica molar a volume constante; para monoatômico translacional existem
graus de liberdade, daí
.
- Outra relação útil (derivada das anteriores) é que, em uma adiabática reversível, também vale
ou seja,
. Vou usar isso para obter
.
- Trabalho realizado pelo gás em um processo adiabático reversível (usando convenção trabalho positivo quando feito pelo gás) pode ser obtido por energia interna: como
(adiabático) e pela primeira lei , temos . Para gás ideal . Portanto
Essa é uma forma direta e prática de calcular o trabalho se conhecermos
e
.
Passo 3
Calcular a temperatura inicial em kelvin e aplicar a relação adiabática para achar
:
- Converter
: - Usar
. Como , temos . Com fica . Assim:
- Calcular numericamente
. Uma boa forma de estimar: então , portanto . - Logo:
Passo 4
Calcular o trabalho usando
. Primeiro escrevo
e depois faço a conta para
mol:
- Para monoatômico:
- Diferença de temperatura:
- Trabalho (geral):
- Para
mol:
(Se quiser a expressão simbólica em função de
:
)
Passo 5
Checagem alternativa (curta) usando
:
- Como
, a fórmula fica equivalente a . Usando e verifica-se que isso é algebraicamente igual a . Assim o valor numérico obtido acima está consistente.