Um gás ideal monoatômico, a 35^{\circ} \mathrm{C} e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
adiabática e reversível;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o trabalho realizado na expansão adiabática reversível:
  • Temperatura inicial: T_1 = 35^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial: P_1 = 2\\ \mathrm{atm}.
  • O volume final é o dobro do inicial: V_2 = 2V_1.
Observações importantes que extraí do enunciado:
  • Não foi informado o número de mols n. Vou apresentar a expressão geral em função de n e também calcular o valor numérico para n=1 mol (caso típico em exercícios).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (com explicações curtas e claras):
  • Para um gás ideal vale a lei dos gases: P V = n R T,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante universal dos gases e T temperatura absoluta (em K). Aqui \;R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a relação politrópica adiabática: P V^{\gamma}=\text{constante},
onde \gamma é a razão dos calores molares C_P/C_V.
  • Para um gás monoatômico ideal (modelo sem graus de vibração excitados) temos: \gamma=\frac{5}{3},\qquad C_V=\frac{3}{2}R.
Explicação rápida: C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante; para monoatômico translacional existem 3 graus de liberdade, daí C_V=\tfrac{3}{2}R.
  • Outra relação útil (derivada das anteriores) é que, em uma adiabática reversível, também vale T V^{\gamma-1}=\text{constante},
ou seja, \;T_1 V_1^{\gamma-1}=T_2 V_2^{\gamma-1}. Vou usar isso para obter T_2.
  • Trabalho realizado pelo gás em um processo adiabático reversível (usando convenção trabalho positivo quando feito pelo gás) pode ser obtido por energia interna: como Q=0 (adiabático) e pela primeira lei \Delta U = Q - W, temos \Delta U = -W. Para gás ideal \Delta U = n C_V (T_2-T_1). Portanto W = n C_V (T_1-T_2).
Essa é uma forma direta e prática de calcular o trabalho se conhecermos T_1 e T_2.

Passo 3

Calcular a temperatura inicial em kelvin e aplicar a relação adiabática para achar T_2:
  • Converter \;T_1: T_1 = 35^\circ\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usar \;T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}. Como V_2=2V_1, temos \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{1}{2}. Com \gamma=\dfrac{5}{3} fica \gamma-1=\dfrac{2}{3}. Assim:
T_2 = T_1\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}.
  • Calcular numericamente \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}=2^{-2/3}. Uma boa forma de estimar: 2^{1/3}\approx1{,}2599 então 2^{2/3}\approx1{,}2599^2\approx1{,}5874, portanto 2^{-2/3}\approx0{,}62996.
  • Logo:
T_2 \approx 308{,}15\times 0{,}62996 \approx 194{,}36\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o trabalho usando W = n C_V (T_1-T_2). Primeiro escrevo C_V e depois faço a conta para n=1 mol:
  • Para monoatômico: \;C_V=\dfrac{3}{2}R=\dfrac{3}{2}\times 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Diferença de temperatura: T_1-T_2 \approx 308{,}15 - 194{,}36 = 113{,}79\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho (geral): W = n C_V (T_1-T_2).
  • Para n=1 mol:
W \approx 1\times 12{,}471 \times 113{,}79 \approx 1{,}419{,}1\\ \mathrm{kJ} = 1419{,}1\\ \mathrm{J}.
(Se quiser a expressão simbólica em função de n: \;W = n\cdot \dfrac{3}{2}R\bigl(T_1 - T_1 2^{-2/3}\bigr) = n\cdot \dfrac{3}{2}R T_1\bigl(1-2^{-2/3}\bigr).)

Passo 5

Checagem alternativa (curta) usando W=\dfrac{P_1V_1-P_2V_2}{\gamma-1}:
  • Como P_iV_i=nRT_i, a fórmula fica equivalente a \dfrac{nR(T_1-T_2)}{\gamma-1}. Usando \gamma-1=\tfrac{2}{3} e C_V=\tfrac{3}{2}R verifica-se que isso é algebraicamente igual a nC_V(T_1-T_2). Assim o valor numérico obtido acima está consistente.

Resposta

W \approx 1419{,}1\\ \mathrm{J} (para n=1 mol)
W = n\cdot \dfrac{3}{2}R T_1\bigl(1-2^{-2/3}\bigr) (expressão geral em função de n)

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